§ 3. Число членов в каноническом представлении многочлена от n переменных

Теорема. Каноническое представление многочлена степени от переменных в общем виде имеет

членов.

Доказательство. Пусть

есть каноническое представление многочлена степени от переменных в общем виде. Рассмотрим теперь каждый член этого канонического представления. Если член имеет степень то перепишем его без изменений; если же данный член имеет степень то присоединим к нему множитель и запишем его так:

Вследствие этого каждый член канонического представления (1) заменяется членом однородного многочлена степени от переменных Причем так будут получены все члены однородного многочлена степени от переменных потому что каждый член однородного многочлена

можно получить из члена многочлена (1)

Таким образом, из канонического представления (1) мы получаем однородный многочлен степени от переменных в общем виде, который имеет столько же членов, сколько их есть в многочлене (1).

Отсюда вытекает, что число членов многочлена (1) равно числу членов однородного многочлена степени от переменных в общем виде, т. е.

Пример. Каноническое представление многочлена третьей степени от трех переменных в общем виде имеет