§ 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестным

Как и для показательных уравнений, общего метода решения логарифмических уравнений не существует. Но и среди логарифмических уравнений можно выделить несколько групп их, уравнения каждой из которых решаются одним и тем же методом.

Первая группа. Простейшие логарифмические уравнения, т. е. уравнения вида

где а — отличное от 1 положительное число. При любом действительном уравнение (1) имеет единственное решение:

Так, например, уравнение имеет единственное решение;

Вторая группа. Логарифмические уравнения вида

где а — отличное от 1 положительное число, элементарная алгебраическая функция.

Введением нового неизвестного уравнение (2) непосредственно сводится к простейшему логарифмическому уравнению

Отсюда

и, значит,

Решив это уравнение, найдем решения уравнения (2).

Пример. Решить уравнение

Решение. Решение заданного уравнения сводится к решению уравнения

Решив его, находим:

Третья группа. Логарифмические уравнения вида

где а — отличное от 1 положительное число, элементарные алгебраические функции. В силу теоремы 2 уравнение (5) равносильно каждой из смешанных систем

и

Поэтому для решения уравнения (5) достаточно найти все решения уравнения

и затем среди них отобрать те, которые удовлетворяют неравенству или неравенству Отобранными решениями исчерпываются все решения уравнения (5). Если же уравнение (6) решений не имеет, то не имеет их и уравнение (5).

Пример. Решить уравнение

Решение. Так как

то заданное уравнение равносильно уравнению

которое в силу теоремы равносильно смешанной системе

Решив уравнение

находим

Неравенству удовлетворяет лишь . Следовательно, уравнение (7) имеет только одно решение:

Четвертая группа. Логарифмические уравнения вида

где отличное от 1 положительное число, а элементарные алгебраические функции, причем некоторые из них могут равняться постоянным числам.

В силу теоремы 3, уравнение (9) равносильно смешанной системе

Следовательно, для решения уравнения (9) достаточно найти все решения уравнения

и затем среди них выбрать те, которые удовлетворяют неравенствам

Если же уравнение (10) решений не имеет, то не имеет их и уравнение (9).

Замечание. К четвертой группе можно отнести также уравнения вида

Действительно, если в уравнении (9) положим то получим уравнение (11). Следовательно, для того чтобы решить уравнение (11), надо в нем вместо подставить и затем решить его тем же способом, что и уравнение (9).

Примеры 1. Решить уравнение

Решение. Заданное уравнение равносильно смешанной системе

которая в свою очередь равносильна системе

Решив уравнение находим:

Оба эти решения удовлетворяют неравенству следовательно, оба они являются решениями заданного уравнения.

2. Решить уравнение

Решение. Запишем заданное уравнение так:

Это уравнение равносильно смешанной системе

Решениями уравнения являются:

Неравенству удовлетворяет только решение следовательно, заданное уравнение имеет одно решение

Пятая группа. Логарифмические уравнения вида

где — функция логарифмическая, элементарная алгебраическая Для решений уравнения (12) введем новое неизвестное Тогда уравнение запишется так:

Если действительные решения уравнения (13), то для нахождения решений уравнения (12) надо решить уравнения

Примеры. 1. Решить уравнение

Решение. Так как то заданное уравнение равносильно уравнению

Положив в этом уравнении получим:

Отсюда

Решив уравнения находим решения заданного уравнения:

2. Решить уравнение

Решение. Областью определения уравнения является множество положительных действительных чисел, отличных от

Так как

то заданное уравнение можно записать так:

Отсюда