Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Решение логарифмических уравнений с одним неизвестнымКак и для показательных уравнений, общего метода решения логарифмических уравнений не существует. Но и среди логарифмических уравнений можно выделить несколько групп их, уравнения каждой из которых решаются одним и тем же методом. Первая группа. Простейшие логарифмические уравнения, т. е. уравнения вида
где а — отличное от 1 положительное число. При любом действительном
Так, например, уравнение Вторая группа. Логарифмические уравнения вида
где а — отличное от 1 положительное число, Введением нового неизвестного
Отсюда
и, значит,
Решив это уравнение, найдем решения уравнения (2). Пример. Решить уравнение
Решение. Решение заданного уравнения сводится к решению уравнения
Решив его, находим:
Третья группа. Логарифмические уравнения вида
где а — отличное от 1 положительное число,
и
Поэтому для решения уравнения (5) достаточно найти все решения уравнения
и затем среди них отобрать те, которые удовлетворяют неравенству Пример. Решить уравнение
Решение. Так как
то заданное уравнение равносильно уравнению
которое в силу теоремы
Решив уравнение
находим
Неравенству Четвертая группа. Логарифмические уравнения вида
где В силу теоремы 3, уравнение (9) равносильно смешанной системе
Следовательно, для решения уравнения (9) достаточно найти все решения уравнения
и затем среди них выбрать те, которые удовлетворяют неравенствам
Если же уравнение (10) решений не имеет, то не имеет их и уравнение (9). Замечание. К четвертой группе можно отнести также уравнения вида
Действительно, если в уравнении (9) положим Примеры 1. Решить уравнение
Решение. Заданное уравнение равносильно смешанной системе
которая в свою очередь равносильна системе
Решив уравнение
Оба эти решения удовлетворяют неравенству 2. Решить уравнение
Решение. Запишем заданное уравнение так:
Это уравнение равносильно смешанной системе
Решениями уравнения
Неравенству Пятая группа. Логарифмические уравнения вида
где
Если
Примеры. 1. Решить уравнение
Решение. Так как
Положив в этом уравнении Отсюда
Решив уравнения
2. Решить уравнение
Решение. Областью определения уравнения является множество положительных действительных чисел, отличных от Так как
то заданное уравнение можно записать так:
Отсюда
|
1 |
Оглавление
|