2. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени.

Система двух уравнений второй степени с двумя неизвестными, которые не имеют членов первой степени, в общем виде записывается так:

Если отличны от нуля, то умножим первое уравнение на а второе — на и затем из второго уравнения вычтем по частям первое уравнение. Получим систему

равносильную заданной. Предположим, что во втором уравнении коэффициент при отличен от нуля. Тогда никакая система чисел где произвольное число, не может быть решением системы (16). Действительно, если то не может быть решением второго уравнения системы (16). С другой стороны, не может быть решением первого уравнения системы (16), так как Исключим из множества допустимых систем значений неизвестных все системы , что не приведет к потере решений системы (16). Разделим теперь обе части второго уравнения на Получим систему, равносильную системе (16):

Решив второе уравнение системы (17) относительно мы найдем отношение что позволит выразить через Найденные выражения для подставим в первое уравнение системы (17) и получим неполные квадратные уравнения для которые легко решаются. Из этих уравнений найдем значения неизвестного Подставив найденные значения в выражение через найдем соответствующие

значения неизвестного Если же во втором уравнении системы (16) коэффициент при равен нулю, то это вспомогательное уравнение имеет вид Для его Решения достаточно вынести за скобки и затем каждый из сомножителей приравнять нулю.

Если в системе (15) какой-либо из коэффициентов например равен нулю, то второе ее уравнение не имеет членов нулевой степени. Система (15) в этом случае имеет такой вид, как и система (16), а поэтому она решается так же, как и система (16).

Пример. Решить систему уравнений

Из второго уравнения, умноженного на 9, вычтем первое, умноженное на 5. Получим систему

Отсюда

Из второго уравнения этой системы находим:

и, следовательно, Подставив эти выражения в первое уравнение последней системы и решив его, находим значения неизвестного :

Соответствующие значения неизвестного равняются:

Следовательно, заданная система имеет следующие решения: