§ 4. Понятие функции и аналитического выражения

Предположим, что нам даны множества состоящие из некоторых элементов.

Если каждому элементу множества поставлен в соответствие некоторый вполне определенный элемент у множества то говорят, что на множестве задана функция и записывают это так:

Здесь у обозначает тот элемент множества который соответствует элементу множества

Символ обозначающий любой элемент множества называется аргументом функции

Элементы множества называют значениями аргумента а соответствующие им элементы множества значениями функции Множество называется областью определения функции или множеством допустимых значений аргумента. Множество соответствующих значений функции называется множеством значений функции.

Если каждой группе элементов принадлежащей некоторому множеству таких групп, поставлен в соответствие некоторый вполне определенный элемент у множества то говорят, что задана функция от переменных, и записывают это так:

В этом случае называют аргументами, а множество областью определения функции или множеством допустимых систем значений аргументов.

Если областью определения функции и множеством ее значений являются некоторые множества

чисел, то функцию называют числовой функцией числового аргумента. Аналогично функцию областью определения которой является некоторое множество систем чисел и множеством значений которой является некоторое множество чисел, называют числовой функцией числовых аргументов.

Как известно, числовые функции числовых аргументов задаются различными способами: табличным, графическим, посредством формул и др. Чаще всего они задаются с помощью формул или, как принято говорить, с помощью аналитических выражений.

Под формулой или аналитическим выражением, задающим функцию в современной математике подразумевают запись тех вычислительных операций, которые надо выполнить в определенной последовательности над постоянными числами и численными значениями аргументов чтобы получить соответствующее численное значение функции . К вычислительным (или аналитическим) операциям относят операции сложения, умножения, вычитания, деления и операцию перехода к пределу, т. е. нахождения по заданной последовательности чисел ее предела если он существует.

Примерами аналитических выражений являются:

Функции, которые можно задать с помощью аналитических выражений, называются аналитически изобразимыми.

Не следует отождествлять понятия функции и аналитического выражения. Всякое аналитическое выражение задает некоторую функцию, но не всякая функция является аналитически изобразимой.

Так как всякое аналитическое выражение задает некоторую функцию, то для записи аналитических выражений употребляют те же символы, что и для записи функций. Если аргументам, входящим в аналитическое выражение дать определенные численные

значения, например, затем выполнить все указанные в этом выражении действия, то получится определенное число, которое обозначают символом и называют значением этого выражения при значениях аргументов При рассмотрении аналитического выражения или функции, заданной с помощью аналитического выражения, указывается, какие именно системы числовых значений аргументов являются допустимыми.

В некоторых случаях из смысла аналитического выражения бывает понятно, какие значения аргумента или системы значений аргументов следует считать допустимыми. Например, длина окружности С задается формулой где радиус окружности. В аналитическом выражении радиус аргумент. Очевидно, что допустимыми значениями аргумента следует в этом случае считать положительные действительные числа.

Если дано аналитическое выражение от нескольких аргументов и не указано, какие системы значений аргументов являются допустимыми, то допустимой считается всякая система значений при которых выполнимы все математические действия, указанные в рассматриваемом выражении.

Например, для той же функции если нет указаний на геометрический смысл аргумента допустимыми следует считать все значения из рассматриваемого числового поля, поскольку для них всегда выполнима операция умножения на число . Для выражения допустимой будет всякая система значений удовлетворяющая условию

Два аналитических выражения от данных аргументов (а также функции, заданные этими выражениями) называются тождественно равными или тождественными, если их значения равны при любой допустимой системе значений аргументов.

Таким образом, если тождественные выражения, то при всех допустимых системах значений аргументов имеет место равенство

Это равенство называется тождеством.

Для обозначения тождества иногда применяют символ Примерами тождеств являются равенства

Заметим, что понятие тождественности двух выражений относительно; оно зависит от множества допустимых систем значений аргументов. Два выражения могут быть тождественны на одном множестве допустимых систем значений аргументов и не быть тождественными на другом, более широком множестве их.

Так, выражения тождественны на множестве неотрицательных действительных чисел и не тождественны на множестве всех действительных чисел, так как

и

Замену аналитического выражения другим, тождественным ему выражением называют тождественным преобразованием данного выражения.

При решении задач часто приходится записывать ту или иную задачу с помощью определенных соотношений между некоторыми аналитическими выражениями. Такую запись задачи называют аналитической.