§ 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным
Трехчленным называется уравнение вида
где
целые неотрицательные числа, а коэффициенты
— числа, отличные от нуля.
Будем считать, что
и запишем уравнение (1) в виде
Обозначив
будем иметь
Отсюда видно, что уравнение (1) имеет
решений, равных нулю, и, кроме того, его решениями являются решения (и только они) уравнения
Следовательно, решение трехчленного уравнения (1) сводится к решению трехчленного уравнения (2).
Трехчленные уравнения вида (2) решаются элементарными способами лишь в некоторых отдельных случаях. В частности, если в этом уравнении
т. е. если оно имеет вид
то подстановкой
оно приводится к квадратному уравнению
Отсюда
Подставив в равенство
вместо у его значения
получаем двучленные уравнения
степени:
Решив, если возможно, эти двучленные уравнения, мы найдем все решения трехчленного уравнения (3). Трехчленное уравнение
у которого
и которое, следовательно, имеет вид
называется биквадратным (дважды квадратным) уравнением. Решения биквадратного уравнения (5) находятся из уравнений (4), в которых, надо положить,
т. е. по формуле
Исследуем решения биквадратного уравнения с действительными коэффициентами. Не теряя общности, будем считать, что старший коэффициент
Случай 1.
Из формулы (6) видно, что в этом случае все четыре решения биквадратного уравнения мнимые.
Случай 2.
Решения биквадратного уравнения попарно равны. Все они мнимые, если
и действительные, если
Случай 3.
Все решения биквадратного уравнения действительные, если —
и мнимые, если —
Если же
то два решения уравнения действительные, а два — мнимые.
Пример. Решить уравнение
Положив
имеем
Отсюда
Подставив в равенство
вместо у его значения у! и
получаем двучленные уравнения
Решениями этих уравнений являются решения уравнения
умноженные соответственно на арифметическое значение
равное
и арифметическое значение
равное
Следовательно,