§ 5. Трехчленные уравнения, приводящиеся к квадратным

Трехчленным называется уравнение вида

где целые неотрицательные числа, а коэффициенты — числа, отличные от нуля.

Будем считать, что и запишем уравнение (1) в виде

Обозначив будем иметь

Отсюда видно, что уравнение (1) имеет решений, равных нулю, и, кроме того, его решениями являются решения (и только они) уравнения

Следовательно, решение трехчленного уравнения (1) сводится к решению трехчленного уравнения (2).

Трехчленные уравнения вида (2) решаются элементарными способами лишь в некоторых отдельных случаях. В частности, если в этом уравнении т. е. если оно имеет вид

то подстановкой оно приводится к квадратному уравнению

Отсюда

Подставив в равенство вместо у его значения получаем двучленные уравнения степени:

Решив, если возможно, эти двучленные уравнения, мы найдем все решения трехчленного уравнения (3). Трехчленное уравнение у которого и которое, следовательно, имеет вид

называется биквадратным (дважды квадратным) уравнением. Решения биквадратного уравнения (5) находятся из уравнений (4), в которых, надо положить, т. е. по формуле

Исследуем решения биквадратного уравнения с действительными коэффициентами. Не теряя общности, будем считать, что старший коэффициент

Случай 1. Из формулы (6) видно, что в этом случае все четыре решения биквадратного уравнения мнимые.

Случай 2. Решения биквадратного уравнения попарно равны. Все они мнимые, если и действительные, если

Случай 3. Все решения биквадратного уравнения действительные, если — и мнимые, если — Если же то два решения уравнения действительные, а два — мнимые.

Пример. Решить уравнение

Положив имеем

Отсюда

Подставив в равенство вместо у его значения у! и получаем двучленные уравнения

Решениями этих уравнений являются решения уравнения умноженные соответственно на арифметическое значение равное и арифметическое значение равное Следовательно,