§ 5. Элементарные функции и их классификация

Как известно, в элементарной математике изучаются следующие действия: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в произвольную степень, извлечение корня, логарифмирование и отыскание значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса, косеканса, арксинуса, арккосинуса, арктангенса, арккотангенса, арксеканса, арккосеканса). Эти действия называют элементарными. Элементарные действия делятся на

алгебраические и элементарные трансцендентные. Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целую степень и извлечение корня называются алгебраическими действиями. Возведение в иррациональную степень, логарифмирование и нахождение значений тригонометрических и обратных тригонометрических функций называются элементарными трансцендентными действиями. Элементарные действия могут выполняться, в зависимости от обстоятельств, в той или иной наперед заданной последовательности над данными числами и буквами — аргументами, т. е. над буквами, которые могут принимать различные численные значения. Всюду дальше, где будет идти речь об элементарных действиях, будем считать, что они выполняются конечное число раз.

С помощью элементарных действий задаются так называемые элементарные функции. Определение элементарной функции можно формулировать следующим образом.

Функция называется элементарной, если ее значения могут быть получены из значений аргументов и постоянных чисел посредством выполнения конечного числа элементарных действий.

Известные читателю из школьного курса математики элементарные функции

называют основными элементарными функциями. Очевидно, что все другие элементарные функции можно получить из постоянных чисел и основных элементарных функций с помощью определенного числа элементарных действий.

Запись тех элементарных действий, которые необходимо выполнить над постоянными числами и значениями аргументов, чтобы получить соответствующее значение элементарной функции, будем называть элементарным аналитическим выражением.

Для элементарных аналитических выражений принята следующая классификация.

Выражение, составленное из аргументов и чисел (обозначенных цифрами или буквами) с помощью лишь алгебраических действий, называют алгебраическим.

Выражение, составленное из аргументов и чисел с помощью элементарных действий, в числе которых есть элементарные трансцендентные действия над аргументами, называется элементарным трансцендентным. Так, например, выражения алгебраические, а выражения элементарные трансцендентные.

Алгебраическое выражение называется рациональным, если оно не содержит действия извлечения корня из аргументов.

Алгебраическое выражение, содержащее действие извлечение корня из аргумента, называется иррациональным.

Рациональное выражение, не содержащее действия деления на выражения, в состав которых входят аргументы, называется целым рациональным выражением или многочленом.

Рациональное выражение называется дробным, если оно содержит действие деления на выражения, в состав которых входят аргументы.

Выражения рациональные. Первое — целое рациональное, второе — дробное. Выражения иррациональные.

Элементарные функции делятся на алгебраические и элементарные трансцендентные. Элементарные функции, которые могут быть заданы с помощью алгебраических выражений, называют алгебраическими. Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называют элементарными трансцендентными.

Иначе говоря, элементарная трансцендентная функция — это функция, которая задается с помощью элементарного трансцендентного выражения и не может быть задана с помощью алгебраического выражения.

Алгебраические функции в свою очередь делятся на рациональные и иррациональные.

Алгебраические функции, которые могут быть заданы с помощью рациональных выражений, называют рациональными. Алгебраические функции, не являющиеся рациональными, называют иррациональными. Следовательно, иррациональная функция — функция, которая задается с помощью иррационального выражения и не может быть задана с помощью рационального выражения. Рациональная функция называется целой рациональной или многочленом, если она задается с помощью целого рационального выражения; она называется дробной, если задается с помощью дробного выражения и не может быть задана с помощью целого рационального выражения.