§ 2. Корни квадратного трехчлена

Алгебраическое уравнение второй степени с одним неизвестным называют квадратным уравнением. В общем случае квадратное уравнение имеет вид

Задачу решения уравнения (1) целесообразно заменить более общей задачей исследования многочлена являющегося левой частью этого уравнения. Многочлен

где называют квадратным трехчленом; а называют старшим коэффициентом, средним коэффициентом и с — свободным членом квадратного трехчлена.

Значения аргумента при которых значение квадратного трехчлена с равно нулю, называют корнями квадратного трехчлена. Иначе говоря, корнями трехчлена с называют решения квадратного уравнения

Следовательно, задача решения квадратного уравнения (1) равносильна задаче нахождения корней квадратного трехчлена (2).

Корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами в поле комплексных чисел. Рассмотрим квадратный трехчлен с с произвольными комплексными коэффициентами, считая, что множеством допустимых значений аргумента является поле комплексных чисел.

Найдем прежде всего корни квадратного трехчлена. Для этого, воспользовавшись тем, что выполним тождественное преобразование

Таким образом,

Это преобразование квадратного трехчлена называют выделением полного квадрата.

Так как то трехчлен тогда и только тогда будет равен нулю, когда

и, следовательно, корнями трехчлена будут такие значения при которых имеет место равенство (3), а значит, и равенство

Из последнего равенства получаем:

а отсюда

Следовательно, корнями квадратного трехчлена а значит, и корнями квадратного уравнения будут значения определяемые формулой

Заметим, что в этой формуле под выражением можно понимать одно какое-либо значение квадратного корня, а постановка перед ним знаков дает оба его значения.

Корни квадратного трехчлена будем обозначать исходя из формулы (4), будем считать, что

Пример Найдем корни квадратного трехчлена По формулам (4) и (5) имеем:

Выражение называют дискриминантом квадратного трехчлена (уравнения).

Так как коэффициенты с — числа комплексные, то и дискриминант А трехчлена будет, вообще говоря, и числом комплексным (в отдельных случаях он может быть действительным числом).

Возможны два случая:

Если дискриминант то, как видно из формулы (4), трехчлен имеет два равных корня:

Если же дискриминант то трехчлен имеет два различных корня. Действительно, в этом случае

Как видим, различные.

Наоборот, если трехчлен имеет двукратный корень, то его дискриминант так как если бы то в силу доказанного выше трехчлен имел бы два различных корня; если трехчлен имеет два различных корня, то дискриминант ибо если бы то в силу уже доказанного трехчлен имел бы двукратный корень.

Следовательно, мы доказали теорему.

Квадратный трехчлен с любыми комплексными коэффициентами имеет в поле комплексных чисел или

двукратный корень, или два различных корня. Для того чтобы трехчлен имел двукратный корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был равея для того чтобы он имел два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант отличным от нуля.

Примеры.

1. Трехчлен имеет двукратный корень: дискриминант этого трехчлена

2. Трехчлен имеет два различных корня: его дискриминант

Корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами в поле комплексных чисел. В том случае, когда коэффициенты с квадратного трехчлена с являются действительными числами, его дискриминант также будет действительным числом, при этом он может равняться нулю, быть большим нуля и меньшим нуля.

Рассмотрим каждый из этих случаев.

Положим где тогда

Таким образом, в этом случае трехчлен имеет два различных действительных корня: при является меньшим, большим корнем.

Корнями трехчлена будут:

оба корня действительные и равны между собой. Иначе говоря, трехчлен имеет двукратный действительный корень.

Тогда где Корнями трехчлена будут:

Таким образом, в этом случае корни трехчлена комплексные сопряженные.

Наоборот, если корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами действительные различные, то его дискриминант больше нуля, так как если бы дискриминант был равным 0 или меньшим 0, то в силу доказанного корни трехчлена были бы действительными равными или комплексными сопряженными. Если квадратный трехчлен с действительными коэффициентами имеет двукратный действительный корень, то его дискриминант равен 0, ибо в противном случае трехчлен имел бы различные корни. Если корни трехчлена с действительными коэффициентами комплексные сопряженные, то его дискриминант меньше 0; в противном случае трехчлен имел бы действительные корни.

Таким образом, мы доказали теорему:

Для того чтобы корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами были действительные различные, действительные равные, комплексные сопряженные, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант соответственно был большим нуля, равным нулю, меньшим нуля.

Примеры:

1. Трехчлен дискриминант которого имеет два действительных различных корня:

2. Трехчлен дискриминант которого имеет два действительных равных корня:

3. Трехчлен дискриминант которого имеет два комплексных сопряженных корня:

Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного трехчлена. Корни квадратного трехчлена выражаются через его коэффициенты посредством выведенной выше формулы

Однако часто при решении различных задач надо уметь выразить коэффициенты квадратного трехчлена через его

корни. Найдем формула, выражающие коэффициенты трехчлена через его корни. Для этого сложим корни а затем перемножим их.

В результате получим:

Отсюда

Итак, средний коэффициент квадратного трехчлена равен произведению старшего коэффициента на сумму его корней, взятую с противоположным знаком; свободный член квадратного трехчлена равен произведению старшего коэффициента на произведение корней.

Выведенные формулы называются формулами Виета. Они позволяют, в частности, найти квадратный трехчлен, старший коэффициент которого равен заданному числу а и корнями которого являются заданные числа

Пример. Найти квадратный трехчлен, который имеет корни старший коэффициент которого По формулам Виета

Искомым трехчленом будет

Разложение квадратного трехчлена на множители над полем комплексных чисел. Возьмем произвольный квадратный трехчлен

заданный над полем комплексных чисел.

В поле комплексных чисел этот трехчлен имеет два различных иди равных корня По формулам Виета

Заменив в трехчлене коэффициенты и с их выражениями через корни, получим:

Следовательно,

Таким образом, мы доказали, что квадратный трехчлен с с произвольными комплексными коэффициентами разлагается над полем комплексных чисел в произведение трех множителей, один из которых является старшим коэффициентом трехчлена, а два других — разностями между и корнями трехчлена.

Пример. Разложить на множители трехчлен Корнями этого трехчлена являются:

и, следовательно,

Над полем действительных чисел этот трехчлен в произведение линейных множителей не разлагается, поскольку он не имеет действительных корней.

Заметим, что коэффициенты, корни, дискриминант квадратного трехчлена — это коэффициенты, корни, дискриминант квадратного уравнения Поэтому все доказанные в этом параграфе утверждения, касающиеся квадратного трехчлена, будут справедливыми и для квадратного уравнения. Иначе говоря, каждое утверждение о квадратном трехчлене мы можем считать утверждением о соответствующем квадратном уравнении, или его левой части.