Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Корни квадратного трехчленаАлгебраическое уравнение второй степени с одним неизвестным называют квадратным уравнением. В общем случае квадратное уравнение имеет вид
Задачу решения уравнения (1) целесообразно заменить более общей задачей исследования многочлена
где Значения аргумента
Следовательно, задача решения квадратного уравнения (1) равносильна задаче нахождения корней квадратного трехчлена (2). Корни квадратного трехчлена с комплексными коэффициентами в поле комплексных чисел. Рассмотрим квадратный трехчлен Найдем прежде всего корни квадратного трехчлена. Для этого, воспользовавшись тем, что
Таким образом,
Это преобразование квадратного трехчлена называют выделением полного квадрата. Так как
и, следовательно, корнями трехчлена будут такие значения
Из последнего равенства получаем:
а отсюда
Следовательно, корнями квадратного трехчлена
Заметим, что в этой формуле под выражением Корни квадратного трехчлена будем обозначать
Пример Найдем корни квадратного трехчлена
Выражение Так как коэффициенты Возможны два случая:
Если дискриминант Если же дискриминант
Как видим, Наоборот, если трехчлен имеет двукратный корень, то его дискриминант Следовательно, мы доказали теорему. Квадратный трехчлен с любыми комплексными коэффициентами имеет в поле комплексных чисел или двукратный корень, или два различных корня. Для того чтобы трехчлен имел двукратный корень, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант Примеры. 1. Трехчлен 2. Трехчлен Корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами в поле комплексных чисел. В том случае, когда коэффициенты Рассмотрим каждый из этих случаев.
Таким образом, в этом случае трехчлен имеет два различных действительных корня:
оба корня действительные и равны между собой. Иначе говоря, трехчлен имеет двукратный действительный корень.
Таким образом, в этом случае корни трехчлена комплексные сопряженные. Наоборот, если корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами действительные различные, то его дискриминант больше нуля, так как если бы дискриминант был равным 0 или меньшим 0, то в силу доказанного корни трехчлена были бы действительными равными или комплексными сопряженными. Если квадратный трехчлен с действительными коэффициентами имеет двукратный действительный корень, то его дискриминант равен 0, ибо в противном случае трехчлен имел бы различные корни. Если корни трехчлена с действительными коэффициентами комплексные сопряженные, то его дискриминант меньше 0; в противном случае трехчлен имел бы действительные корни. Таким образом, мы доказали теорему: Для того чтобы корни квадратного трехчлена с действительными коэффициентами были действительные различные, действительные равные, комплексные сопряженные, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант Примеры: 1. Трехчлен
2. Трехчлен
3. Трехчлен
Зависимость между коэффициентами и корнями квадратного трехчлена. Корни
Однако часто при решении различных задач надо уметь выразить коэффициенты квадратного трехчлена через его корни. Найдем формула, выражающие коэффициенты трехчлена через его корни. Для этого сложим корни В результате получим:
Отсюда
Итак, средний коэффициент квадратного трехчлена равен произведению старшего коэффициента на сумму его корней, взятую с противоположным знаком; свободный член квадратного трехчлена равен произведению старшего коэффициента на произведение корней. Выведенные формулы называются формулами Виета. Они позволяют, в частности, найти квадратный трехчлен, старший коэффициент которого равен заданному числу а и корнями которого являются заданные числа Пример. Найти квадратный трехчлен, который имеет корни
Искомым трехчленом будет
Разложение квадратного трехчлена на множители над полем комплексных чисел. Возьмем произвольный квадратный трехчлен
заданный над полем комплексных чисел. В поле комплексных чисел этот трехчлен имеет два различных иди равных корня
Заменив в трехчлене коэффициенты
Следовательно,
Таким образом, мы доказали, что квадратный трехчлен Пример. Разложить на множители трехчлен
и, следовательно,
Над полем действительных чисел этот трехчлен в произведение линейных множителей не разлагается, поскольку он не имеет действительных корней. Заметим, что коэффициенты, корни, дискриминант квадратного трехчлена
|
1 |
Оглавление
|