Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентамиОбщих алгебраических методов решения алгебраических уравнений степени Приступая к изучению метода нахождения этих решений, заметим прежде всего, что всякое алгебраическое уравнение
с рациональными коэффициентами можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами. Действительно, если коэффициенты уравнения (1) рациональные, но не все целые, то, умножив обе части уравнения на
с целыми коэффициентами. Отсюда вытекает, что задача нахождения рациональных корней уравнения (1) с рациональными коэффициентами сводится к задаче определения рациональных корней уравнения (2) с целыми коэффициентами. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь уравнений с целыми коэффициентами. Изучим сначала вопрос о целых корнях уравнения с целыми коэффициентами. Теорема. Если целое число а является решением уравнения
с целыми коэффициентами, то свободный член Доказательство. Действительно, если целое число а является решением уравнения (3), то
Отсюда
Так как а и коэффициенты Эта теорема означает, что делимость свободного члена целыми коэффициентами имеет целые решения, то их нужно искать среди делителей свободного члена этого уравнения. Надо испытать все делители свободного члена, как положительные, так и отрицательные. Если ни один из них не удовлетворяет уравнению, то оно не имеет целых корней. Если свободный член уравнения имеет большое число делителей, то проверка всех их может оказаться довольно громоздкой. Следующее замечание позволяет сократить число проверок. Пусть
Так как 1 и —1 всегда являются делителями свободного члена, то прежде всего вычислим
где
должны быть целыми числами. Таким образом, из отличных от Этим замечанием пользуются для отбора делителей, подлежащих испытанию, как правило, тогда, когда числа уравнения Пример. Найти целые корни уравнения
Имеем:
будут целыми числами лишь для делителя Рассмотрим теперь вопрос о дробных корнях. Теорема. Если уравнение
с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен единице, имеет рациональный корень, то этот корень является целым числом. Доказательство. Предположим, что уравнение (4) имеет корнем несократимую дробь
Умножив обе части этого равенства на будем иметь:
Отсюда
Такое равенство невозможно, так как правая его часть есть число целое, а левая — несократимая дробь. Следовательно, предположение, что уравнение (4) имеет корнем несократимую дробь Из этой теоремы вытекает, что уравнение с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, не имеющее целых решений, не имеет и дробных решений. Предположим теперь, что нам надо найти рациональные корни уравнения
с целыми коэффициентами. Умножим обе части этого уравнения на получим равносильное ему уравнение
Заменив в уравнении (6) неизвестное
Все рациональные корни этого уравнения, если они существуют, будут целыми числами. Следовательно, искать их надо среди делителей свободного члена Найдя все целые корни уравнения (7) и подставив их поочередно вместо у в соотношение Пример. Найти рациональные корни уравнения
Умножив обе части уравнения на 23 и положив
Найдем целые корни уравнения (9). Имеем:
Найдем целые корни уравнения
Имеем: Частные
оба будут целыми числами лишь для делителя 6. Следовательно, испытать надо лишь делитель Итак, уравнение (9) имеет целые корни:
Рациональными корнями уравнения (8) будут:
Таким образом, мы всегда можем найти рациональные корни алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Найдя рациональные корни
Для нахождения остальных корней уравнения Так, например, уравнение (8), имеющее рациональные корни
Для того чтобы найти два других его корня, нужно решить квадратное уравнение
|
1 |
Оглавление
|