§ 7. Алгебраическое уравнение n-й степени с рациональными коэффициентами

Общих алгебраических методов решения алгебраических уравнений степени как мы знаем, не существует. Поэтому нахождение для таких уравнений даже отдельных решений — задача, вообще говоря, довольно трудная. Однако рациональные корни алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами находятся довольно просто, без больших вычислений.

Приступая к изучению метода нахождения этих решений, заметим прежде всего, что всякое алгебраическое уравнение

с рациональными коэффициентами можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами.

Действительно, если коэффициенты уравнения (1) рациональные, но не все целые, то, умножив обе части уравнения на общее кратное знаменателей его коэффициентов, — получим равносильное ему уравнение

с целыми коэффициентами.

Отсюда вытекает, что задача нахождения рациональных корней уравнения (1) с рациональными коэффициентами сводится к задаче определения рациональных корней уравнения (2) с целыми коэффициентами. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь уравнений с целыми коэффициентами.

Изучим сначала вопрос о целых корнях уравнения с целыми коэффициентами.

Теорема. Если целое число а является решением уравнения

с целыми коэффициентами, то свободный член этого уравнения делится на а.

Доказательство. Действительно, если целое число а является решением уравнения (3), то

Отсюда

Так как а и коэффициенты целые числа, то и частное — от деления на а есть целое число, а это и означает, что делится на а.

Эта теорема означает, что делимость свободного члена уравнения с целыми коэффициентами на целое число а является необходимым условием того, чтобы а было решением этого уравнения. Следовательно, если уравнение с

целыми коэффициентами имеет целые решения, то их нужно искать среди делителей свободного члена этого уравнения. Надо испытать все делители свободного члена, как положительные, так и отрицательные. Если ни один из них не удовлетворяет уравнению, то оно не имеет целых корней.

Если свободный член уравнения имеет большое число делителей, то проверка всех их может оказаться довольно громоздкой. Следующее замечание позволяет сократить число проверок.

Пусть многочлен, стоящий в левой части уравнения (3), т. е.

Так как 1 и —1 всегда являются делителями свободного члена, то прежде всего вычислим и . Если целое число а является корнем уравнения (3), т. е. то

где (как это видно из схемы деления многочлена на двучлен) — суть целые числа, и поэтому частные

должны быть целыми числами.

Таким образом, из отличных от делителей свободного члена испытанию подлежат лишь те, для каждого из которых оба частных являются целыми числами.

Этим замечанием пользуются для отбора делителей, подлежащих испытанию, как правило, тогда, когда числа отличны от нуля. Если же хотя бы одно из них, например равно нулю, то левая часть уравнения (3), т. е. многочлен делится на и его можно записать так: где многочлен с целыми коэффициентами. Найдя все целые решения

уравнения и присоединив к ним решение будем иметь все целые решения уравнения (3).

Пример. Найти целые корни уравнения

Имеем: Значит, 1 и —1 не удовлетворяют уравнению. Делителями свободного члена являются числа ±2, ±3, ±6. Оба частные

будут целыми числами лишь для делителя Следовательно, испытанию подлежит лишь делитель 2. Непосредственной проверкой устанавливаем, что является корнем заданного уравнения.

Рассмотрим теперь вопрос о дробных корнях. Теорема. Если уравнение

с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен единице, имеет рациональный корень, то этот корень является целым числом.

Доказательство. Предположим, что уравнение (4) имеет корнем несократимую дробь Тогда имеет место равенство

Умножив обе части этого равенства на будем иметь:

Отсюда

Такое равенство невозможно, так как правая его часть есть число целое, а левая — несократимая дробь.

Следовательно, предположение, что уравнение (4) имеет корнем несократимую дробь приводит к противоречию и, значит, оно неверное.

Из этой теоремы вытекает, что уравнение с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице, не имеющее целых решений, не имеет и дробных решений.

Предположим теперь, что нам надо найти рациональные корни уравнения

с целыми коэффициентами. Умножим обе части этого уравнения на получим равносильное ему уравнение

Заменив в уравнении (6) неизвестное новым неизвестным у, связанным с соотношением будем иметь уравнение с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом, равным единице:

Все рациональные корни этого уравнения, если они существуют, будут целыми числами. Следовательно, искать их надо среди делителей свободного члена

Найдя все целые корни уравнения (7) и подставив их поочередно вместо у в соотношение найдем все рациональные корни уравнения (5).

Пример. Найти рациональные корни уравнения

Умножив обе части уравнения на 23 и положив будем иметь:

Найдем целые корни уравнения (9). Имеем: Следовательно, является корнем уравнения (9), и поэтому оно запишется так:

Найдем целые корни уравнения

Имеем: делителями свободного члена являются числа: ±1; ±2; ±3; ±4; ±6; ±8; ±12; ±24.

Частные

оба будут целыми числами лишь для делителя 6. Следовательно, испытать надо лишь делитель Испытание показывает, что является корнем уравнения (10).

Итак, уравнение (9) имеет целые корни:

Рациональными корнями уравнения (8) будут:

Таким образом, мы всегда можем найти рациональные корни алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.

Найдя рациональные корни уравнения степени мы записываем его в виде

Для нахождения остальных корней уравнения остается решить уравнение степени

Так, например, уравнение (8), имеющее рациональные корни запишется так:

Для того чтобы найти два других его корня, нужно решить квадратное уравнение