Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§ 1. Бином Ньютона
Выражение
как и вообще всякий двучлен, называется биномом. Формулы сокращенного умножения позволяют сразу возвести бином
а во вторую и третью степень;
Выведем формулу для возведения бинома
в произвольную целую положительную степень
Для этого рассмотрим сначала произведение
биномов, имеющих один и тот же первый и различные вторые члены
Имеем:
Произведения
составлены по одному и тому же закону. В каждом из них слагаемые размещены по убывающим степеням
Показатель степени при
в первом слагаемом равен числу перемножаемых биномов, а в последующих слагаемых он понижается каждый раз на единицу. В последнее слагаемое
входит в нулевой степени (т. е. совсем не входит).
Первое слагаемое имеет коэффициент 1, второе — сумму всех вторых членов перемножаемых биномов, третье — сумму всех произведений вторых членов биномов, взятых по два, четвертое — сумму всех произведений вторых членов, взятых по три. Последнее слагаемое является произведением всех вторых членов биномов.
Докажем, что этот закон справедлив и для произведения
биномов, т. е. что
где
Предположим, что формула (1) имеет место при
где
какое-либо натуральное число, т. е.
и докажем, что тогда она верна и при
т. е.
Действительно,
но
так как
есть сумма всех произведений членов
взятых по два, в которые не входит член
есть сумма всех произведений этих членов, взятых по два, в каждый из которых входит сомножителем
Далее,
потому что
есть сумма всех произведений членов
взятых по
в которые не входит
бсть сумма всех произведений этих членов, взятых по
в каждый из которых входит сомножителем
Наконец,
Таким образом,
Выше было замечено, что формула (1) верна при
. Из предположения, что она верна при
вытекает ее справедливость при
Следовательно, она верна для всякого натурального числа
Предположим теперь, что
. В этом случае
Формула (1) запишется тогда так:
Формула (2) является одной из основных в математике и называется биномом Ньютона.
Подставив в формулу (2) вместо
их значения, запишем ее так:
Многочлен, стоящий в правой части формулы (2), а значит, и формулы (3), называется разложением бинома.