Глава V. БИНОМ НЬЮТОНА И ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
§ 1. Бином Ньютона
Выражение 
как и вообще всякий двучлен, называется биномом. Формулы сокращенного умножения позволяют сразу возвести бином 
а во вторую и третью степень;
Выведем формулу для возведения бинома 
в произвольную целую положительную степень 
Для этого рассмотрим сначала произведение 
биномов, имеющих один и тот же первый и различные вторые члены
Имеем:
Произведения 
составлены по одному и тому же закону. В каждом из них слагаемые размещены по убывающим степеням 
Показатель степени при 
в первом слагаемом равен числу перемножаемых биномов, а в последующих слагаемых он понижается каждый раз на единицу. В последнее слагаемое 
входит в нулевой степени (т. е. совсем не входит).
Первое слагаемое имеет коэффициент 1, второе — сумму всех вторых членов перемножаемых биномов, третье — сумму всех произведений вторых членов биномов, взятых по два, четвертое — сумму всех произведений вторых членов, взятых по три. Последнее слагаемое является произведением всех вторых членов биномов.
Докажем, что этот закон справедлив и для произведения 
биномов, т. е. что
где
Предположим, что формула (1) имеет место при 
где 
какое-либо натуральное число, т. е.
и докажем, что тогда она верна и при 
т. е.
Действительно,
но
так как 
есть сумма всех произведений членов 
взятых по два, в которые не входит член 
есть сумма всех произведений этих членов, взятых по два, в каждый из которых входит сомножителем 
Далее,
потому что 
есть сумма всех произведений членов 
взятых по 
в которые не входит 
бсть сумма всех произведений этих членов, взятых по 
в каждый из которых входит сомножителем 
Наконец,
Таким образом,
Выше было замечено, что формула (1) верна при 
. Из предположения, что она верна при 
вытекает ее справедливость при 
Следовательно, она верна для всякого натурального числа 
Предположим теперь, что 
. В этом случае
Формула (1) запишется тогда так:
Формула (2) является одной из основных в математике и называется биномом Ньютона.
Подставив в формулу (2) вместо 
их значения, запишем ее так:
Многочлен, стоящий в правой части формулы (2), а значит, и формулы (3), называется разложением бинома.
