§ 8. Частные приемы решения уравнений высших степеней

Мы ознакомились с методами решения алгебраических уравнений некоторых типов. Безусловно, множество всех алгебраических уравнений не исчерпывается уравнениями этих типов. Есть много уравнений, не принадлежащих ни к одному из рассмотренных типов. Некоторые из них можно решить, применяя различные приемы, основанные на использовании индивидуальных свойств уравнений. Эти приемы нельзя предусмотреть общей теорией. Рассмотрим лишь некоторые из них на примерах.

Наиболее употребительными приемами являются различные искусственные замены неизвестных, а также

разложение левой части уравнения на множители. Как уже известно, если левая часть уравнения представляется в виде произведения множителей

отличных от постоянных чисел, то решение уравнения сведется к решению уравнений степень каждого из которых ниже, чем степень первоначального уравнения.

Примеры.

1. Решить уравнение: Разложим левую часть уравнения в произведение множителей:

Заданное уравнение запишется так:

и, следовательно, решение его сведется к решению уравнений откуда

2. Решить уравнение:

Заметив, что запишем уравнение так: Прибавив и вычтя из его левой части будем иметь или Следовательно, заданное уравнение можно записать в виде и поэтому решение его сводится к решению уравнений

Отсюда

3. Решить уравнение

Умножив обе части уравнения на получим равносильное ему уравнение

которое можно записать так:

Отсюда вытекает, что решение заданного уравнения сводится к решению уравнений

т. е. уравнений

Очевидно, что второе из них имеет корень и потому левая часть его делится на Частное от деления левой части этого уравнения на а равно Следовательно, это уравнение можно записать так:

значит, решение его сведется к решению уравнений

Таким образом, решение заданного уравнения сводится к решению уравнений

Отсюда

4. Решить уравнение

Разделив обе части уравнения на получим:

Заметим, что при этом преобразовании множество допустимых значений неизвестного сузилось: не будет уже допустимым значением. Но корней уравнения при этом мы не потеряем, ибо не удовлетворяет заданному уравнению.

Положив получим биквадратное уравнение

решение которого дает

Подставив в равенство значения

получим уравнения

Отсюда находим корни заданного уравнения:

5. Решить уравнение

Перемножив в левой части уравнения , а также и , будем иметь:

Положив получим квадратное уравнение

Найдя отсюда и подставив их вместо в равенство получим для определения два квадратных уравнения:

Другой способ решения этого же уравнения получим, положив Тогда

и заданное уравнение примет вид:

Раскрыв скобки, приходим к биквадратному уравнению относительно у.

6. Решить уравнение

Положив получим уравнение

которое после упрощений запишется так:

Из этого биквадратного уравнения определяем Решения заданного уравнения найдем из уравнений

7. Решить уравнение

Для решения этого уравнения его преобразовывают так же, как и симметрическое уравнение четной степени первого рода, а затем применяют подстановку