5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное.

Рассмотрим систему уравнений

первое уравнение которой однородное, а второе неоднородное. Найдем прежде всего решения системы (если таковые существуют), для которых Для этого в уравнениях системы (30) положим и затем будем искать общие решения уравнений Всякому общему решению этих уравнений будет соответствовать решение системы (30).

Для нахождения других решений системы (30) решим первое ее уравнение при дополнительном условии Для этого положим в нем получится уравнение

где степень первого уравнения системы (30). Для нахождения решений первого уравнения, для которых надо решить уравнение

Если решения этого уравнения, то тождественно удовлетворяет первому уравнению заданной системы. Подставив во второе уравнение системы (30), будем иметь уравнение с одним неизвестным

Каждому решению этого уравнения соответствует решение заданной системы уравнений.

Пример. Решить систему уравнений

Непосредственной проверкой убеждаемся, что система не имеет решений, для которых Действительно, если в уравнениях системы положим то получим несовместную систему

и, следовательно, никакая пара чисел не может быть решением заданной системы уравнений.

Решим теперь первое уравнение системы при дополнительном условии Положив получим

Уравнение можно записать:

Оно имеет решения:

Этим решениям соответствуют следующие значения неизвестного

Подставив во второе уравнение заданной системы, получим уравнение

решениями которого являются Отсюда вытекает, что заданная система имеет решения:

Аналогично, подставив во второе уравнение найдем еще четыре решения заданной системы:

6. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, левые части которых однородные многочлены,

а правые — отличные от нуля числа. Предположим, что нам задана система уравнений

где — однородные многочлены соответственно степени отличные от нуля числа. Если то из первого уравнения, умноженного на вычтем второе уравнение, умноженное на Получим систему

равносильную заданной. В этой системе одно уравнение однородное, а второе — неоднородное. Поэтому ее можно решать методом, рассмотренным выше. Если то, положив в уравнениях системы находим прежде всего ее решения (если таковые существуют), для которых Затем будем находить решения, для которых

Для этого найдем наименьшее общее кратное обеих степеней и возведем обе части первого уравнения в степень а второго — в степень — Получим систему

которая является следствием заданной системы.

Левые части уравнений этой системы есть многочлены одной и той же степени Умножим первое уравнение на а второе — на и затем из первого уравнения вычтем второе. Получим однородное уравнение степени

которое является следствием системы (33), а значит, и заданной системы уравнений. С помощью подстановки найдем решения этого уравнения, для которых

Пусть эти решения задаются формулами

Так как уравнение (34) является следствием заданной системы уравнений, то решения заданной системы следует искать среди решений этого уравнения. Иначе говоря, решения системы (31) задаются соотношениям (35) при определенных значениях неизвестного Для нахождения этих значений возьмем то из уравнений системы, степень которого ниже, и подставим в него значения Получится уравнение с одним неизвестным Если оно не удовлетворяется тождественно, то, решив его, найдем значения неизвестного при которых соотношениями задаются решения выбранного нами уравнения. Путем подстановки этих решений во второе уравнение проверяем, какие из них удовлетворяют второму уравнению и, следовательно, являются решениями заданной системы.

Если при подстановке в выбранное нами уравнение значения получим уравнение, которое удовлетворяется тождественно, тогда подставим во второе уравнение и, решив его, найдем нужные значения неизвестного Если же при подстановке и во второе уравнение системы получим уравнение, удовлетворяющееся тождественно, то любая пара чисел будет решением заданной системы уравнений.

Пример. Решить в поле действительных чисел систему уравнений

Система, очевидно, не имеет решений, для которых Бупем искать решения, для которых Возведем обе части первого уравнения в квадрат. Получим систему

Умножим первое уравнение на 31, а второе — на 49 и затем из второго уравнения вычтем первое. Получим однородное уравнение

Найдем решения этого уравнения, для которых Для этого положим в нем получив

решим уравнение

Это симметрическое уравнение имеет два действительных и два комплексных корня. Так как комплексные корни уравнения (37) приводят к комплексным решениям и системы (36), а нам надо найти лишь действительные решения системы, то комплексных корней уравнения (37) мы рассматривать не будем.

Действительными корнями уравнения (37) являются

Этим корням соответствуют соотношения

Подставив первое уравнение системы (36), будем иметь откуда Соответствующие значения неизвестного равняются -Аналогично, подставив в первое уравнение системы, найдем Соответствующими значениями неизвестного являются

Таким образом, первое уравнение системы (36) имеет в поле действительных чисел следующие решения:

Непосредственной проверкой путем подстановки убеждаемся, что все эти решения удовлетворяют и второму уравнению системы. Следовательно, заданная система уравнений имеет в поле действительных чисел полученные четыре решения.