Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 5. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых однородное, а второе не однородное.Рассмотрим систему уравнений
первое уравнение которой однородное, а второе неоднородное. Найдем прежде всего решения системы (если таковые существуют), для которых Для нахождения других решений системы (30) решим первое ее уравнение при дополнительном условии
где
Если
Каждому решению Пример. Решить систему уравнений
Непосредственной проверкой убеждаемся, что система не имеет решений, для которых
и, следовательно, никакая пара чисел Решим теперь первое уравнение системы при дополнительном условии
Уравнение
Оно имеет решения:
Этим решениям соответствуют следующие значения неизвестного
Подставив
решениями которого являются
Аналогично, подставив во второе уравнение
6. Решение системы двух уравнений с двумя неизвестными, левые части которых однородные многочлены, а правые — отличные от нуля числа. Предположим, что нам задана система уравнений
где
равносильную заданной. В этой системе одно уравнение однородное, а второе — неоднородное. Поэтому ее можно решать методом, рассмотренным выше. Если Для этого найдем наименьшее общее кратное
которая является следствием заданной системы. Левые части уравнений этой системы есть многочлены одной и той же степени
которое является следствием системы (33), а значит, и заданной системы уравнений. С помощью подстановки Пусть эти решения задаются формулами
Так как уравнение (34) является следствием заданной системы уравнений, то решения заданной системы следует искать среди решений этого уравнения. Иначе говоря, решения системы (31) задаются соотношениям (35) при определенных значениях неизвестного Если при подстановке в выбранное нами уравнение значения Пример. Решить в поле действительных чисел систему уравнений
Система, очевидно, не имеет решений, для которых
Умножим первое уравнение на 31, а второе — на 49 и затем из второго уравнения вычтем первое. Получим однородное уравнение
Найдем решения этого уравнения, для которых
решим уравнение
Это симметрическое уравнение имеет два действительных и два комплексных корня. Так как комплексные корни уравнения (37) приводят к комплексным решениям и системы (36), а нам надо найти лишь действительные решения системы, то комплексных корней уравнения (37) мы рассматривать не будем. Действительными корнями уравнения (37) являются Этим корням соответствуют соотношения Подставив Таким образом, первое уравнение системы (36) имеет в поле действительных чисел следующие решения:
Непосредственной проверкой путем подстановки убеждаемся, что все эти решения удовлетворяют и второму уравнению системы. Следовательно, заданная система уравнений имеет в поле действительных чисел полученные четыре решения.
|
1 |
Оглавление
|