§ 2. Однородный многочлен от n переменных и число его членов

Заданный в канонической форме многочлен

все члены которого имеют одну и ту же степень относительно совокупности переменных, называется однородным многочленом степени

Так,

есть однородный многочлен третьей степени. Всякий одночлен также считается однородным многочленом. Членом однородного многочлена степени от переменных может быть всякий одночлен вида степени

Теорема. Однородный многочлен степени от переменных в общем виде имеет

членов.

Действительно, однородный многочлен степени от переменных заданный в общем виде, есть сумма членов вида

где А означает какое-то число, целые неотрицательные числа, удовлетворяющие условию

Следовательно, каждому члену

однородного многочлена соответствует вполне определенное сочетание с повторениями из элементов по а именно сочетание, в котором повторяются соответственно раз. Очевидно, что и, наоборот, каждому сочетанию с повторениями из элементов по элементов, в котором повторяются соответственно раз будет соответствовать член однородного многочлена вида

Отсюда вытекает, что в общем случае однородный многочлен степени от переменных имеет столько различных членов, сколько возможно сочетаний с повторениями из элементов по элементов:

Примеры.

1. Однородный многочлен второй степени от двух переменных имеет

2. Однородный многочлен третьей степени от трех переменных имеет