§ 3. Исследование квадратного трехчлена над полем действительных чисел

Корни квадратного трехчлена. Рассмотрим теперь квадратный трехчлен с произвольными действительными коэффициентами, считая, что множеством

допустимых значений аргумента является поле действительных чисел.

Из теоремы о корнях квадратного трехчлена с действительными коэффициентами в поле комплексных чисел вытекает, что в поле действительных чисел трехчлен с с действительными коэффициентами может иметь два различных, два равных корня или совсем не иметь корней (т. е. будет иметь комплексные сопряженные корни), причем для этого необходимо и достаточно, чтобы дискриминант трехчлена был соответственно большим, равным или меньшим нуля.

Заметим, что при рассмотрении квадратного трехчлена с над полем действительных чисел формула для корней

применяется лишь при условии, что причем под подразумевают арифметическое значение корня. Так как мы условились обозначать через корень квадратного трехчлена, равный , а через корень, равный , то над полем действительных чисел для квадратного трехчлена, имеющего действительные различные корни, будет меньшим, а большим корнем (при при будет наоборот).

Наибольшие и наименьшие значения квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен с — функция переменного При изменении значений значения трехчлена также изменяются. Вполне естественно возникает вопрос: при каких значениях трехчлен будет иметь наибольшее или наименьшее значения? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Квадратный трехчлен с действительными коэффициентами при принимает экстремальное значение, равное при это

значение трехчлена минимальное, а при максимальное.

Доказательство. Запишем трехчлен в виде

Слагаемое постоянное число. Если то слагаемое положительно при равно нулю при Следовательно, при слагаемое а значит и квадратный трехчлен будут иметь наименьшее значение. Если же то будет отрицательным при и равным нулю при т. е. при слагаемое будет иметь наибольшее значение, а значит, и квадратный трехчлен при будет иметь наибольшее значение. Таким образом, квадратный трехчлен при имеет экстремальное (наибольшее или наименьшее) значение. Оно равно .

Рис. 1.

Рис. 2.

Примеры.

1. Трехчлен при принимает минимальное значение, равное — 4 (рис. 1).

2. Трехчлен — при принимает максимальное значение, равное 3 (рис. 2).

Знак квадратного трехчлена. Знак квадратного трехчлена определяется следующей теоремой.

Теорема. Квадратный трехчлен с с действительными коэффициентами, имеющий комплексные сопряженные корни, при всех действительных значениях сохраняет знак старшего коэффициента а. Трехчлен, имеющий двукратный корень, при всех действительных значениях отличных от корня, сохраняет знак коэффициента. Трехчлен, корни которого действительны и различны, всея действительных значениях меньших, меньший, больших, больший из корней, сохраняет знак старшего коэффициента а, а при значениях заключенных между корнями, имеет знак, противоположный знаку коэффициента а.

В самом деле, если квадратный трехчлен с с действительными коэффициентами имеет комплексные сопряженные корни где действительные числа, то

Отсюда видно, что при всяком действительном значении знак трехчлена совпадает со знаком коэффициента а, так как выражение в квадратных скобках как сумма квадратов действительных чисел будет всегда числом положительным.

Если корни трехчлена действительные и равные, т. е. то

Множитель при всяком действительном значении отличном от является числом положительным. Поэтому квадратный трехчлен при всех действительных значениях отличных от будет сохранять знак коэффициента а.

Если, наконец, корни квадратного трехчлена действительны и различны, то примем, что Тогда

При всяком действительном значении меньшем а значит, и оба множителя будут числами отрицательными, а их произведение — числом положительным, и поэтому трехчлен будет сохранять знак коэффициента а. При всяком действительном значении большем а значит, и оба множителя будут числами положительными, следовательно, и их произведение будет числом положительным. Поэтому трехчлен будет сохранять знак коэффициента а. При всяком действительном значении большем и меньшем множитель будет числом положительным, числом отрицательным; произведение будет числом отрицательным, и поэтому знак трехчлена будет противоположен знаку коэффициента а.

Примеры:

1. Трехчлен имеет корни

При всяком действительном значении трехчлен сохраняет знак старшего коэффициента, т. е. является числом положительным (рис. 3).

2. Трехчлен — имеет двукратный корень при всяком действительном значении отличном от 1, он сохраняет знак старшего коэффициента, т. е. является числом отрицательным (рис.

Рис. 3.

Рис. 4.

3. Трехчлен имеет корни при всяком действительном для которого или трехчлен сохраняет знак старшего коэффициента, т. е. является числом положительным, а при он имеет знак, противоположный знаку старшего коэффициента, т. е. является числом отрицательным (рис. 5).

Рис. 5.

Результаты исследований квадратного трехчлена над полем действительных чисел будут использованы нами при изучении неравенств второй степени с одним неизвестным (см. главу VIII).