Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чиселВ процессе решения иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, часто приходится выполнять тождественные преобразования иррациональных выражений. Рассмотрим основные из них. При этом будем считать, что буквы, стоящие под радикалами, обозначают неотрицательные числа, а радикалы — арифметические корни. 1. Вынесение множителей за знак радикала. Предположим, что в радикале
где
Следовательно,
2. Введение множителей под знак радикала. Иногда бывает целесообразно множители, стоящие перед радикалом, ввести под знак радикала: для этого надо эти множители возвести в степень, показатель которой равен показателю корня, и затем записать их под знаком радикала. Действительно,
Следовательно,
3. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе. Если в знаменатель дробного выражения входят радикалы, то, умножив его числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим дробь, знаменатель которой не содержит радикалов. Такое преобразование дробного выражения называют уничтожением иррациональности в знаменателе. Аналогично можно преобразовать дробь, числитель которой содержит радикалы, к виду, в котором радикалы в числителе отсутствуют. Такое преобразование достигается умножением числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное числителю, и носит название уничтожения иррациональности в числителе. Приемы уничтожения иррациональности в знаменателе и в числителе совершенно одинаковы и сводятся, в конечном счете, к нахождению соответствующих сопряженных выражений. Поэтому можно ограничиться рассмотрением только одной из этих задач, например, задачи уничтожения иррациональности в знаменателе. Мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи уничтожения иррациональности в знаменателе, которые чаще всего встречаются в практике решения задач. а) Дробное выражение имеет вид
В этом случае выражением, сопряженным знаменателю, является:
В самом деле,
(кликните для просмотра скана) г) Дробное выражение имеет вид
Выражением, сопряженным знаменателю, является:
Действительно,
д) Дробное выражение имеет вид
где Умножив числитель и знаменатель этой дроби на выражение
Следовательно, выражением, сопряженным знаменателю, будет в этом случае
4. Приведение подобных радикалов. Два радикала называются подобными, если они имеют одинаковую степень и если их можно записать в виде произведений одного и того же радикала на рациональные выражения. Так, например, радикалы В силу закона дистрибутивности
Это преобразование называют приведением подобных радикалов. 5. Умножение радикалов с различными показателями. По теореме 2 (§ 1 этой главы),
где Следовательно, для того чтобы перемножить несколько корней различных степеней из неотрицательных чисел, надо сначала привести эти корни к общему показателю и затем перемножить их подкоренные выражения. 6. Деление радикалов с различными показателями. В силу теорем 2 и 4 (§ 1 этой главы),
где Таким образом, чтобы разделить корни различных степеней из двух неотрицательных чисел 7. Преобразование «сложных» квадратных радикалов. В некоторых случаях бывает целесообразно «сложные» квадратные радикалы вида Положим
Отсюда
Из соотношений (1) и (2) получим
Положив
Складывая и вычитая по частям соотношения (3) и (4), получаем формулы
в которых предполагается Пример. Упростить выражение Решение.
|
1 |
Оглавление
|