§ 2. Тождественные преобразования иррациональных выражений в поле действительных чисел

В процессе решения иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, часто приходится выполнять тождественные преобразования

иррациональных выражений. Рассмотрим основные из них. При этом будем считать, что буквы, стоящие под радикалами, обозначают неотрицательные числа, а радикалы — арифметические корни.

1. Вынесение множителей за знак радикала. Предположим, что в радикале показатели больше, чем Разделив с остатком числа на получим:

где неотрицательные числа, меньшие, чем Тогда будем иметь

Следовательно,

2. Введение множителей под знак радикала. Иногда бывает целесообразно множители, стоящие перед радикалом, ввести под знак радикала: для этого надо эти множители возвести в степень, показатель которой равен показателю корня, и затем записать их под знаком радикала. Действительно,

Следовательно,

3. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе. Если в знаменатель дробного выражения входят радикалы, то, умножив его числитель и знаменатель на

выражение, сопряженное знаменателю, получим дробь, знаменатель которой не содержит радикалов. Такое преобразование дробного выражения называют уничтожением иррациональности в знаменателе.

Аналогично можно преобразовать дробь, числитель которой содержит радикалы, к виду, в котором радикалы в числителе отсутствуют. Такое преобразование достигается умножением числителя и знаменателя дроби на выражение, сопряженное числителю, и носит название уничтожения иррациональности в числителе. Приемы уничтожения иррациональности в знаменателе и в числителе совершенно одинаковы и сводятся, в конечном счете, к нахождению соответствующих сопряженных выражений. Поэтому можно ограничиться рассмотрением только одной из этих задач, например, задачи уничтожения иррациональности в знаменателе.

Мы рассмотрим лишь некоторые частные случаи уничтожения иррациональности в знаменателе, которые чаще всего встречаются в практике решения задач.

а) Дробное выражение имеет вид

В этом случае выражением, сопряженным знаменателю, является:

В самом деле,

(кликните для просмотра скана)

г) Дробное выражение имеет вид

Выражением, сопряженным знаменателю, является:

Действительно,

д) Дробное выражение имеет вид

где некоторые многочлены от

Умножив числитель и знаменатель этой дроби на выражение получим:

Следовательно, выражением, сопряженным знаменателю, будет в этом случае

4. Приведение подобных радикалов. Два радикала называются подобными, если они имеют одинаковую степень

и если их можно записать в виде произведений одного и того же радикала на рациональные выражения. Так, например, радикалы и подобны, ибо

В силу закона дистрибутивности

Это преобразование называют приведением подобных радикалов.

5. Умножение радикалов с различными показателями. По теореме 2 (§ 1 этой главы),

где общее кратное показателей соответствующие дополнительные множители

Следовательно, для того чтобы перемножить несколько корней различных степеней из неотрицательных чисел, надо сначала привести эти корни к общему показателю и затем перемножить их подкоренные выражения.

6. Деление радикалов с различными показателями. В силу теорем 2 и 4 (§ 1 этой главы),

где общее кратное показателей соответствующие дополнительные множители

Таким образом, чтобы разделить корни различных степеней из двух неотрицательных чисел , надо сначала привести их к общему показателю и затем разделить. Если не делится на то в случае необходимости можно уничтожить иррациональность в знаменателе.

7. Преобразование «сложных» квадратных радикалов. В некоторых случаях бывает целесообразно «сложные» квадратные радикалы вида или заменить соответственно суммой или разностью двух радикалов.

Положим

Отсюда следовательно,

Из соотношений (1) и (2) получим

Положив аналогично предыдущему найдем, что

Складывая и вычитая по частям соотношения (3) и (4), получаем формулы

в которых предполагается Эти формулы называют формулами преобразования «сложныхъ квадратных радикалов. Их применение особенно удобно тогда, когда есть точный квадрат.

Пример. Упростить выражение

Решение.