§ 5. Тождественные преобразования многочленов. Тождество Лагранжа
При решении различных задач довольно часто приходится выполнять тождественные преобразования многочленов, т. е. заменять данный многочлен тождественным ему многочленом. Тождественные преобразования
многочленов, заданных над числовым полем, выполняются, как это отмечалось в § 1 этой главы, на основании коммутативного и ассоциативного законов сложения и умножения чисел и дистрибутивного закона умножения относительно сложения, а также правил действий над числами, вытекающих из этих законов. Рассмотрим, например, следующее тождественное преобразование многочлена от 
переменных:
(см. скан)
Следовательно,
Это тождество называется тождеством Лагранжа. Сокращенно его записывают так:
Из тождества Лагранжа вытекает, что при действительных 
равенство
имеет место тогда и только тогда, когда каждое из неотрицательных слагаемых 
правой части тождества превращается в нуль, т. е. когда 
значит,
Таким образом, при действительных 
равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
Если хотя бы одно из чисел 
равно нулю, то такая запись условия теряет смысл. В этом случае его следует записывать в виде
где 
некоторое число. Такая форма записи условия имеет смысл независимо от обращения чисел 
в нуль.
