§ 4. Преобразование уравнений при их решении

При решении уравнений чаще всего приходится заданное уравнение преобразовывать и заменять последовательно другими уравнениями, равносильными данному, но более простыми. Этот процесс замены продолжают до тех пор, пока не получат уравнение, решения которого известны. Эти известные решения и будут решениями заданного уравнения.

Иногда данное уравнение заменяют выводимым уравнением, которое, как отмечалось раньше, может иметь решения, посторонние для данного уравнения. В этом случае необходимо путем подстановки в данное уравнение найденных решений проверить, какие из них удовлетворяют данному уравнению и какие являются для него посторонними.

Так, например, при решении уравнения

его заменяют следствием

которое записывается так:

Решениями этого уравнения являются: первое из которых — постороннее для заданного уравнения.

Заметим, наконец, что при преобразовании уравнения в процессе решения может измениться область его определения, что в свою очередь может привести к потере решений или к появлению посторонних решений. Сужение области определения уравнения может привести к потере решений, а расширение ее — к появлению посторонних решений.

Например, рассмотрим над полем действительных чисел уравнение Решая это уравнение, мы получаем отсюда Если же в левой части заданного уравнения выполнить преобразование то уравнение запишется так: отсюда

Областью определения уравнения является множество всех действительных чисел, отличных от нуля, а областью определения уравнения множество всех положительных действительных чисел. Следовательно, при преобразовании уравнения область определения его сузилась. Это и привело к потере решения

Рассмотрим теперь уравнение

Преобразуем его левую часть следующим образом:

Тогда данное уравнение запишется так: откуда

Уравнение (2) имеет решения первое из них для уравнения (1) — постороннее. Постороннее решение появилось потому, что при преобразовании уравнения область определения его расширилась. Действительно, областью определения уравнения (1) является множество всех действительных чисел, кроме числа 2, а уравнения (2) — множество всех действительных чисел.

Таким образом, преобразования уравнения в процессе его решения могут привести как к потере решений, так и к появлению посторонних решений. Если наличие

посторонних решений установить легко (для этого надо лишь испробовать найденные решения путем подстановки их в заданное уравнение), то потерю решений никакой общей теорией предусмотреть нельзя. Для того чтобы установить потерю решений, надо в каждом конкретном случае специально исследовать, не приводит ли какое-либо из выполненных в процессе решения преобразований к потере решений.

Рассмотрим некоторые преобразования, которые часто применяются в практике решения уравнений. Пусть задано уравнение

Заменим в нем неизвестные новыми неизвестными связанными с соотношениями

где функции, удовлетворяющие следующему условию: для всякой допустимой системы значений неизвестных найдется такая допустимая система значений неизвестных что

Тогда получим уравнение

Если любое решение уравнения (6), т. е. если

то система чисел

будет решением уравнения (3).

Действительно, из равенств (7) и (8) вытекает равенство

а это означает, что система чисел

является решением уравнения (3),

Наоборот, если произвольное решение уравнения (3), т. е. если

то найдется такое решение уравнения (6), что

Действительно, по условию (5) для системы значений найдется такая допустимая система значений неизвестных Для которой будут выполняться равенства (10).

Кроме того, из равенств (9) и (10) вытекает, что

т. е. система значений является решением уравнения (6).

Следовательно, если мы найдем все решения вспомогательного уравнения (6) и затем по очереди подставим каждое из них в равенства (4) вместо неизвестных то получим все решения уравнения (3). Переход от заданного уравнения

к вспомогательному уравнению

называют преобразованием уравнения с помощью замены неизвестных или подстановки.

Это преобразование особенно часто применяется при решении уравнений с одним неизвестным.

Заметим, что всюду дальше, где говорится о замене неизвестных в уравнении, новые и старые неизвестные всегда будут связаны между собой соотношениями вида (4), которые обязательно будут удовлетворять условию (5). Поэтому мы не будем каждый раз проверять, выполняется ли условие (5).

Пример. Решить уравнение

Это уравнение можно записать так:

или

Положив получим уравнение

решениями которого являются Подставив эти решения вместо в соотношение получаем уравнения

из которых находим решения заданного уравнения:

Иногда в процессе решения уравнения его заменяют несколькими уравнениями. В частности, такая замена широко практикуется при решении алгебраических уравнений с одним неизвестным.

Замена одного уравнения несколькими основывается на следующей теореме:

Если левая часть уравнения

разлагается на множители

то для отыскания всех решений этого уравнения достаточно найти решения каждого из уравнений:

а отобрать среди них те, которые принадлежат множеству допустимых систем значений неизвестных заданного уравнения.

Действительно, уравнение можно записать так:

Но произведение равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из его сомножителей равен нулю. Поэтому всякое решение уравнения (11) будет решением по крайней мере одного из уравнений (12), и, наоборот, всякое решение любого из уравнений (12), принадлежащее к области определения функции будет решением и уравнения (11).

Пример. Решить уравнение

Приравняв нулю каждый из сомножителей левой части уравнения, будем иметь:

Решениями заданного уравнения являются Решение уравнения не принадлежит множеству допустимых значений неизвестного, ибо при левая часть заданного уравнения не имеет смысла, и поэтому его надо отбросить.

В этой главе все определения, теоремы и рассуждения умышленно изложены в общем виде для уравнений с неизвестными, чтобы иметь возможность использовать их как при изучении уравнений с одним неизвестным, т. е. когда так и при изучении систем уравнений с несколькими неизвестными.