§ 6. Графические способы решения трансцендентных уравнений и систем

Как известно, решить трансцендентное уравнение путем выполнения элементарных действий над известными числами (коэффициентами, параметрами и др.) удается в сравнительно редких случаях. Но для потребностей практики часто бывает необходимо найти хотя бы приближенное значение корней заданного трансцендентного уравнения. Если не требуется большая точность, это с успехом можно сделать, применяя графические методы решения уравнений.

Пусть задано уравнение

Для того чтобы определить графически приближенное значение действительных корней этого уравнения, построим график функции и найдем абсциссы точек пересечения этого графика с осью Эти абсциссы будут корнями заданного уравнения, причем ими исчерпываются все его действительные решения. Действительно, и поэтому является решением заданного уравнения. С другой стороны, если то является абсциссой точки пересечения графика функции с осью

График функции строят, используя свойства этой функции и таблицу ее значений. В том случае, когда функция возрастает очень быстро, целесообразно уравнение заменить равносильным ему уравнением где постоянное положительное, меньшее, чем 1, число, и затем строить график функции Число надо выбрать так, чтобы удобнее было строить график функции Если график функции построить трудно, то иногда бывает целесообразно уравнение (1) записать в виде

и затем на одном чертеже построить графики функций Корнями уравнения (2) будут абсциссы точек пересечения этих графиков, причем ими исчерпываются все его действительные решения. Действительно, если точки пересечения графиков функций то Отсюда следовательно, абсциссы точек пересечения являются корнями уравнения (2). Наоборот, если то является абсциссой точки пересечения графиков функций Этот прием применяют также тогда, когда приходится решать несколько однотипных уравнений, для которых функция одна и та же, а функции хотя и отличаются одна от другой, но графики их строятся легко. В этом случае, построив график функции строят на этом же чертеже графики функций соответствующие заданным уравнениям, и, таким образом, графически решают заданные уравнения.

Например, для графического решения трансцендентных уравнений вида

запишем уравнение (3) так:

Построив кривую строим на этом же рисунке для каждого заданного уравнения прямую и затем определяем приближенные значения корней заданного уравнения.

На рис. 35 показано решение этим методом уравнений:

Непосредственная проверка показывает, что есть точное решение уравнения

Графическое решение трансцендентных систем уравнений основывается на тех же принципах, что и решение трансцендентных уравнений. Если задана трансцендентная система

то, чтобы найти действительные решения этой системы, достаточно определить координаты точек пересечения кривых, которые задаются этими уравнениями. Действительно, так как точки пересечения кривых принадлежат обеим кривым, то их координаты удовлетворяют обоим уравнениям. Наоборот, если пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям, то точка принадлежит обеим кривым и, следовательно, является точкой пересечения этих кривых.

Построение кривых, заданных уравнениями системы (4), как известно, упрощается, если уравнения этой системы можно разрешить относительно одного из неизвестных или если оба неизвестные можно записать как функции одной и той же переменной.

Рис. 35.

Так как построение графиков, а также измерение отрезков могут быть выполнены лишь приближенно, то графические методы решения уравнений и их систем дают, как правило, грубо приближенные значения решений.

Графический метод решения уравнений и систем применяют как вспомогательный способ при приближенном их решении. Он позволяет определять число решений уравнения или системы, находить те промежутки, в которых содержатся искомые решения, и определять приближенные значения этих решений. В случае надобности результаты, полученные при графическом решении, проверяются и уточняются с помощью численных методов.

Рассмотрим некоторые примеры графического решения трансцендентных уравнений и систем.

Примеры. 1. Решить графически уравнение

Решение. Строим на одном рисунке графики функций

Построенные кривые (рис. 36) пересекаются в точках, координаты которых приближенно равняются и (1; 2). Непосредственной проверкой убеждаемся, что есть точное решение заданного уравнения, приближенное.

2. Решить графически уравнение

Решение. Для графического решения этого уравнения запишем его так:

и затем построим графики функций (рис. 37).

Рис. 36.

Рис. 37.

В границах чертежа эти графики пересекаются в двух точках, имеющих абсциссы Так как при

Рис. 38.

Рис. 39.

имеем неравенство при неравенство то построенные нами кривые пересекаются еще в одной — третьей точке. Следовательно, заданное уравнение имеет еще и третье решение, которое содержится в интервале Для определения третьего решения заменим заданное уравнение равносильным ему уравнением и построим на отрезке графики функций

Составив на отрезке [6, 7] таблицу значений функций

и построив их графики (рис. 38), находим, что . Решить графически уравнение

Рис. 40.

Решение. Построив графики функций х находим, что

4. Решить графически системы уравнений

Решение. Для решения этих систем строим график функции (рис. 40) и затем на этом же рисунке строим окружности, которые задаются уравнениями Координаты точек пересечения каждой из этих окружностей с логарифмической кривой и являются решениями соответствующей системы уравнений. Первая система имеет решения , а вторая система —

Мы ограничились рассмотрением лишь простых примеров. Графическое решение более сложных трансцендентных уравнений и систем принципиально ничем не отличается от решения рассмотренных нами примеров. Осложнения, которые при этом могут возникнуть, будут связаны лишь с построением кривых, изображающих заданные трансцендентные уравнения.