Глава IX. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАД ПОЛЕМ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

§ 1. Корни с натуральными показателями в поле действительных чисел

Прежде чем рассматривать вопрос о решении иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, напомним некоторые положения о корнях, известные читателю из курса алгебры средней школы.

Корнем степени (n - натуральное число) из числа а называется такое число степень которого равна а.

Следовательно, если есть корень степени из числа а, то Корень степени из числа а обозначают натуральное число называют показателем корня, а — подкоренным числом. Если показатель корня равен 2, то его принято опускать. Выражение иначе еще называют радикалом степени. Радикалом степени также называют и символ Действие нахождения корня называют извлечением корня.

Из курса высшей алгебры известно, что корень степени из любого отличного от нуля числа а имеет в поле комплексных чисел различных значений. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением корней в поле действительных чисел.

Неотрицательное значение корня степени из неотрицательного числа а будем называть арифметическим значением корня, или арифметическим корнем. Иначе говоря,

неотрицательное число степень которого равна а, будем называть арифметическим корнем -й степени из числа а. Как известно из курса математического анализа, арифметический корень любой степени из всякого неотрицательного числа а существует, и притом только один.

Если 0, то в поле действительных чисел символ обозначает арифметический корень степени из числа а. Поэтому при решении над полем действительных чисел уравнений вида следует писать

Аналогично при и нечетном арифметическим корнем степени из числа а называют отрицательное действительное число, степень которого равна а.

Теорема Если а и неотрицательные числа, то из соотношений вытекают соответственно соотношения

Доказательство. Так как любое неотрицательное число имеет только один арифметический корень -степени, то из вытекает, что т. е.

Если или то, по свойству 10 неравенств (см. § 1 главы VIII), которое остается верным и для неотрицательных чисел, соответственно или

Из доказанной теоремы вытекает, что при неотрицательных а и для доказательства равенства или нерагенств или а достаточно доказать справедливость соответственно равенства или неравенств или

Теооема 2. Значение корня из неотрицательного числа не изменится, если показатель корня умножить на любое натуральное число а подкоренное число возвести в ту же степень

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно в силу доказанного выше показать, . А это действительно так, ибо

Доказанная теорема означает, что значение корня не изменится, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на любой их общий делитель.

Из нее вытекает также следствие: Корни различных степеней можно гаме нить соответственно равными корнями с одним и тем же показателем. Действительно, если -заданные корни, общее кратное показателей этих корней и то в силу теоремы 2

Замену данных корней равными им корнями с одним и тем же показателем иногда называют приведением корней к общему показателю.

Отсюда и из теоремы 1 вытекает следующее правило: для того чтобы установить, какие из неотрицательных чисел больше, достаточно привести эти корни к общему показателю и затем сравнить подкоренные числа.

Пример. Установить, какое из является большим.

Решение. Приведя эти корни к общему показателю, будем иметь

Теорема 3. Корень из произведения нескольких неотрицательных сомножителей равен произведению корней той же степени из каждого из сомножителей, т. е.

Доказательство. Действительно,

и

Следовательно,

и поэтому

Читая равенство (2) справа налево, получим правило умножения корней:

Чтобы перемножить несколько корней одной и той же степени из неотрицательных чисел, достаточно перемножить подкоренные выражения и из произведения извлечь корень той же степени.

Теорема 4. Корень из частного от деления неотрицате ъьного числа а на положительное число равен частному от деления корней той же степени из делимого и делителях

Доказательство. Действительно,

Следовательно,

и поэтому

Если прочесть равенство (3) справа налево, то получим правило деления корней:

Чтобы разделить корни одной и той же степени из двух положительных чисел, достаточно разделить их подкоренные выражения и из частного извлечь корень той же степени.

Теоремаб. Чтобы возвести корень из неотрицательного числа в степень, надо возвести в эту степень подкоренное число:

Доказательство. Действительно,

Следовательно, и поэтому

Соотношение показывает, что для извлечения корня степени из степени числа а, достаточно возвести в степень корень степени из а.

Теорема 6. При извлечении корня из корня можно перемножить показатели корней, не меняя подкоренного чилла:

Доказательство. Действительно,

Следовательно, и поэтому

Заметим, что доказанные нами теоремы верны без дополнительных оговорок лишь для арифметических корней. Для неарифметических же корней теоремы, аналогичные доказанным, верны не во всех случаях. Ниже мы убедимся в этом.

Так как четная степень всякого действительного числа есть число неотрицательное, то действие извлечения корня четной степени из отрицательных чисел в поле действительных чисел неосуществимо и, следовательно, при символ в поле действительных чисел смысла не имеет.

Корень четной степени из любого положительного числа в поле действительных чисел имеет два значения. Этими значениями являются арифметическое значение и число, ему противоположное.

Теорема 7. Корень нечетной степени из любого действительного числа а имеет в поле действительных чисел только одно значение.

В самом деле, если 0, то никакое отрицательное число не может быть корнем степени из числа а, так как всякая нечетная степень отрицательного числа есть число отрицательное. Неотрицательное же (арифметическое) значение корня степени из неотрицательного числа а, как нам известно, существует только одно. Следовательно, при корень степени из числа а имеет в поле действительных чисел только одно значение. Если же то корень степени из числа а имеет в поле действительных чисел также только одно значение, а именно: — Действительно, значит, есть корень степени из числа а. Никакое же отрицательное число отличное от не может быть корнем степени из числа а, ибо если бы то следовательно, существовали бы два различных арифметических корня степени из положительного числа чего быть не может. Точно так же не может быть корнем степени из отрицательного числа а и никакое неотрицательное число, так как всякая степень неотрицательного числа является числом неотрицательным.

Теорема 8. Если а и отрицательные числа, то из соотношений любое натуральное число) вытекают соответственно соотношения

Доказательство. Действительно, если то Отсюда следовательно, по теореме Поэтому

Если то следовательно, по теореме Отсюда — т. е.

Если же то Отсюда и следовательно Поэтому

Если одно из чисел а и отрицательное, а второе неотрицательное, то очевидно, что из соотношений вытекает справедливость соответственно соотношений

Следовательно, для любых двух действительных чисел а и из соотношений вытекает справедливость соответственно соотношений

Отсюда в свою очередь следует, что для корней нечетной степени из любых действительных чисел остается в силе правило установления равенств и неравенств путем возведения их в степень, показатель которой равен показателю корней, и поэтому остаются в силе доказательства теорем 3, 4, 5 для всякого нечетного при произвольных действительных подкоренных числах. Следовательно, для корней нечетной степени при всяких действительных подкоренных числах справедливы теоремы 3, 4, 5.

При нечетном доказательства теорем 2 и 6 остаются в силе только тогда, когда показатель также есть нечетное число. Для нечетного же и четного при теоремы 2 и 6 не имеют места, ибо и поэтому а символы в поле действительных чисел не имеют смысла.

Так как для нечетных теорема 2 остается в силе также и при то правило приведения корней с нечетными показателями из произвольных действительных чисел к общему показателю остается в силе тогда, когда общим показателем корней является нечетное число.

Для четного теоремы 2—6 не имеют места. В этом легко убедиться. Например, в силу теоремы однако так что теорема 2 в этом случае не имеет места. Вообще при четном и отрицательном а

т. е. теорема 2 для четного и не выполняется.