Глава VII. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ С НЕСКОЛЬКИМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ

§ 1. Понятие системы уравнений

Естественным обобщением понятия уравнения является понятие системы нескольких уравнений с несколькими неизвестными.

Системой уравнений называют совокупность нескольких уравнений, для которых надо найти системы значений неизвестных, каждая из которых удовлетворяет всем этим уравнениям.

Систему уравнений с неизвестными в общем виде записывают так:

Функции называют левыми частями, а правыми частями уравнений системы.

Как и в случае одного уравнения с несколькими неизвестными, в некоторые из уравнений или в левые, или в правые их части некоторые неизвестные могут не входить.

Число уравнений системы может быть большим, равным или меньшим, чем число неизвестных, входящих в ее уравнение.

Общую часть областей определения уравнений, входящих в состав системы, называют областью о

пределения системы уравнений. Систему значений неизвестных называют допустимой системой значений неизвестных системы уравнений, если она содержится в области определения этой системы. Иначе говоря, система значений неизвестных называется допустимой системой значений неизвестных системы уравнений, если при все левые и правые части уравнений системы имеют смысл.

Система значений неизвестных при которых левая часть каждого уравнения заданной системы равна правой его части, называется решением этой системы уравнений.

Как и в случае одного уравнения с неизвестными, решение системы нескольких уравнений с неизвестными записывают в виде последовательности чисел, являющихся значениями неизвестных:

или в виде совокупности равенств:

Система уравнений может иметь одно, несколько и даже бесчисленное множество решений или совсем не иметь их.

Система уравнений, имеющая по крайней мере одно решение, называется совместной; система же, не имеющая ни одного решения, называется несовместной или противоречивой.

Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет конечное число решений, и неопределенной, если множество ее решений бесконечно.

Решить систему уравнений — это значит исследовать, совместна она или нет, и если совместна, то найти все ее решения. При решении системы уравнений все ее уравнения рассматриваются над одним и тем же числовым полем.

Примеры.

1. Система уравнений

совместна и имеет единственное решение:

2. Система уравнений

совместна и имеет несколько решений.

Действительно, решая эту систему методом, известным читателю из школьного курса алгебры, найдем такие ее решения:

3. Система уравнений

совместна и имеет бесчисленное множество решений. Действительно, вычтя по частям второе уравнение из первого, найдем откуда Подставив значение 2 во второе уравнение, получим так что

Следовательно, эта система имеет бесчисленное множество решений. Они задаются формулами

в которых 3 может принимать любое значение.

4. Система уравнений

несовместна. Действительно, левые части первого и третьего уравнений одинаковы, а правые — различны; поэтому не существует системы чисел, которая одновременно удовлетворяла бы первому и третьему уравнениям.