§ 9. Дробно-рациональные уравнения

Как уже известно (см. § 2 предыдущей главы), уравнение вида

где рациональные функции, по крайней мере одна из которых дробно-рациональная, называется дробно-рациональным уравнением с одним неизвестным.

Для решения уравнения (1) перенесем в левую часть, выполним необходимые тождественные преобразования и запишем заданное уравнение в виде

где и многочлены от

Уравнение (2) является следствием уравнения (1). Действительно, если есть решение уравнения (1), то Выполним над этим равенством все те преобразования, которые мы выполняли над уравнением Получим равенство а это и означает, что с есть решение уравнения (2).

Однако уравнение (2) не обязательно равносильно уравнению (1). При преобразовании уравнения (1) множество допустимых значений неизвестного может измениться, причем оно не может сузиться, но может расшириться,

и тогда уравнение (2) будет иметь решения, посторонние для уравнения (1). Это случится тогда, когда в процессе преобразования уравнения (1) некоторые дробные выражения взаимно уничтожаются или производится сокращение алгебраических дробей на множители, в которые входит неизвестное

Например, выполняя в уравнении

указанные преобразования, получим

и дальше

Уравнение (4) не равносильно уравнению (3). Действительно, оно имеет корни Второй из них является посторонним для уравнения (3), ибо при выражение не имеет смысла. Произошло это потому, что при преобразовании уравнения (3) взаимно уничтожились слагаемые

Преобразуя другое уравнение

получим

и дальше

Сократив дробь на будем иметь

или

Уравнение (6) имеет корень который не удовлетворяет уравнению (5), потому что левая часть его теряет смысл при Следовательно, уравнение (6) не равносильно уравнению (5). Произошло это потому, что в процессе преобразования заданного уравнения мы сокращали алгебраическую дробь на

Таким образом, уравнение (2) является следствием уравнения (1), но не обязательно равносильно ему; отсюда вытекает, что решения уравнения (1) следует искать среди решений уравнения (2). Решениями же уравнения (2) могут быть лишь те значения при которых равняется нулю, т. е. лишь решения уравнения значит, решения уравнения (1) надо искать среди решений уравнения

Следовательно, для решения уравнения (1) достаточно определить все корни уравнения и затем путем непосредственной подстановки их в уравнение (1) выяснить, какие из них являются корнями заданного уравнения (1).

Изложенные нами рассуждения можно коротко сформулировать в виде следующего правила для решения дробно-рациональных уравнений.

Для решения дробно-рациональных уравнений

с одним неизвестным нужно:

1) перенести все члены его в левую часть;

2) выполнить необходимые тождественные преобразования и записать заданное уравнение в виде

где и многочлены от

3) решить уравнение

4) путем подстановки решений уравнения в первоначальное уравнение определить, какие из них удовлетворяют заданному уравнению.

Пример. Решить уравнение

Перенеся все члены в левую часть и приведя их к общему знаменателю, получим:

Приравняв числитель левой части нулю, будем иметь уравнение

или

Отсюда

Первое из этих решений является посторонним для заданного уравнения, а второе удовлетворяет ему.

Заметим, что в школьной практике часто при решении дробно-рациональных уравнений обе части заданного уравнения умножают на общий знаменатель всех алгебраических дробей, входящих в левую и правую части уравнения, а затем решают полученное таким образом уравнение. Очевидно, что полученное алгебраическое уравнение является следствием заданного уравнения, но не равносильно ему.

Поэтому, найдя решения этого алгебраического уравнения, надо подстановкой их в заданное уравнение определить, какие из них будут решениями заданного уравнения.