Глава II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ

§ 1. Понятие уравнения. Решения уравнения

Решение многих задач теоретического и практического характера сводится к решению различных уравнений. Поэтому вопросу решения уравнений в курсе элементарной алгебры уделяется особенно большое внимание. Изучение этого вопроса мы начнем с определения основных понятий и доказательства некоторых теорем, на которые нам придется ссылаться при изучении уравнений различных классов и их систем.

Аналитическую запись задачи об отыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны, называют уравнением, а аргументы этих функций — неизвестными.

Если в уравнение входит одно, два, три, неизвестных, то его называют уравнением соответственно с одним, двумя, тремя, неизвестными. Условимся неизвестные обозначать буквой с индексами: Уравнение с неизвестными в общем виде будем записывать так:

Функцию будем называть левой частью уравнения, а функцию правой частью.

Заметим, что от некоторых из аргументов функция или может не зависеть, т. е. некоторые из неизвестных в левую или правую часть уравнения могут не входить. Больше того, одна из этих функций, например

Может быть даже постоянным числом тогда уравнение (1) будет иметь вид:

В частности, если то имеем уравнение

Будем считать, что числа, входящие в уравнение (1) (в частности, значения букв — параметров), а также значения, которые могут принимать неизвестные принадлежат некоторому числовому полю и в этом случае будем говорить, что уравнение (1) рассматривается над числовым полем или в числовом поле . В элементарной математике уравнения рассматриваются чаще всего над полем действительных или над полем комплексных чисел, значительно реже — над полем рациональных чисел; иногда уравнения рассматриваются также над кольцом целых чисел.

Пусть числа из поля Если при левая и правая части уравнения (1) имеют смысл, то система значений неизвестных называется допустимой системой значений неизвестных уравнения (1) в поле

Множество всех допустимых систем значений неизвестных уравнения (1) в поле называется областью определения этого уравнения в поле

Очевидно, что областью определения уравнения

является общая часть областей определения функций . В случае уравнения с одним неизвестным понятие допустимой системы значений заменяется соответственно понятием допустимого значения неизвестного.

Пример. Областью определения уравнения в поле действительных чисел является множество всех пар действительных чисел, отличных от пары . В поле комплексных чисел областью определения этого уравнения является множество всех пар комплексных чисел, удовлетворяющих условию

Система значений неизвестных при которых значение левой части уравнения (1) равно значению

правой его части, называется решением этого уравнения.

Решение уравнения с неизвестными записывают в виде последовательности чисел, являющихся значениями неизвестных: или в виде совокупности равенств:

Пример. уравнение с двумя неизвестными. Система значений является его решением, ибо при значения левой и правой частей уравнения равны. Система же значений не является решением этого уравнения, ибо при

Если система значений неизвестных является решением уравнения (1), то принято говорить, что система чисел удовлетворяет уравнению (1); если же система чисел не является решением уравнения (1), то говорят, что она этому уравнению не удовлетворяет.

Уравнение может не иметь ни одного решения. О таком уравнении говорят, что оно не имеет решений. Таким, например, является уравнение какие бы значения ни принимали неизвестные, значение его левой части не будет равно значению правой части. Если же уравнение имеет решения, то их может быть одно, несколько или даже бесконечное множество.

Так, уравнение имеет лишь одно решение: уравнение имеет два решения: уравнение имеет бесконечное множество решений, его решением 2 будет всякая пара значений неизвестных: где с — произвольное число.

Если решением уравнения является всякая допустимая система значений неизвестных, то говорят, что уравнение удовлетворяется тождественно. Так, уравнение удовлетворяется тождественно во всяком числовом поле.

Решить уравнение означает установить, имеет ли оно решения, и если имеет, то найти их.

Заметим, что множество решений данного уравнения зависит от числового поля, над которым оно рассматривается. Так, если уравнение рассматривать над

полем рациональных чисел, то оно вовсе не имеет решений; если же рассматривать его над полем действительных чисел, то оно имеет два решения:

Уравнение в поле действительных чисел имеет лишь одно решение: а в поле комплексных чисел оно имеет бесконечное множество решений: его решением будет всякая пара чисел где произвольное комплексное число.