Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА

§ 1. Основные свойства неравенств

Неравенства наряду с уравнениями играют существенную роль во всех разделах современной математики. Многие так называемые «классические» неравенства постоянно используются в различных исследованиях. Нередко также результаты исследований записывают в форме неравенств.

Неравенством называют соотношение между двумя числами (величинами), указывающее, какое из них больше и какое меньше. Для обозначения неравенства употребляют знак или направленный острием к меньшему числу. Так, если число (величина) а больше числа (величины) , то это записывают так: (читают: «а больше b») или (читают: «b меньше а»). Иначе говоря, неравенствами называют соотношения вида

Если число а не меньше, чем число , то это записывают так: или Соотношения вида называют нестрогими неравенствами.

Если известно, что числа а и не равны, но неизвестно, какое из них больше, а какое меньше, то это записывают так: Такое соотношение также называют неравенством. Для обозначения неравенств часто употребляют знаки Знак V может заменять любой из символов

тогда знаком обозначают символ противоположного смысла, т. е. соответственно

Два неравенства, в которых левые части больше, чем их правые части, или левые части меньше, чем правые части, называют неравенствами одинакового смысла. Неравенства, в одном из которых левая часть больше правой, а в другом левая часть меньше, чем правая, называют неравенствами различного или противоположного смысла. Так, например, неравенства являются неравенствами одинакового смысла, а неравенства различного смысла.

Теорию неравенств, как уже отмечалось в § 3 главы 1, можно построить только в упорядоченном поле. Среди числовых полей такими, как известно, являются поля рациональных и действительных чисел. Именно в этих полях мы и будем рассматривать неравенства.

Определенные в полях рациональных и действительных чисел понятия «меньше», «больше» удовлетворяют соответственно требованиям первого и второго определений упорядоченного поля (см. § 3 главы 1). Всюду в дальнейшем мы будем ссылаться на второе определение упорядоченного поля.

Числа, большие нуля, называются положительными, а числа, меньшие нуля, — отрицательными. Как известно, число а больше, чем число (а число b меньше, чем число а), тогда и только тогда, когда разность есть положительное число.

Напомним основные свойства неравенств.

1. Если , то

Это свойство называется свойством транзитивности неравенств. Оно непосредственно вытекает из второго определения упорядоченного поля.

2. Если то а с для всякого числа с, т. е. неравенство не нарушится, если к обеим его частям прибавить одно и то же число.

Это свойство также непосредственно вытекает из второго определения упорядоченного поля.

Следствие. Всякое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Действительно, если

то, прибавив к обеим частям неравенства — получим:

а значит, слагаемое перенесено из левой части неравенства в правую с противоположным знаком.

3. Если то при почленном сложении двух неравенств одинакового смысла получим неравенство того же смысла.

Доказательство. Из неравенства вытекает неравенство из неравенства неравенство Отсюда в силу транзитивности неравенств получаем:

что и требовалось доказать.

4. Если то при т. е. при умножении обеих частей неравенства на один и тот же положительный множитель неравенство не нарушается, а при умножении на отрицательный множитель превращается в неравенство противоположного смысла.

Доказательство. Если то справедливость неравенства вытекает непосредственно из второго определения упорядоченного поля.

Если же то Поэтому в силу только что доказанного т. е. Отсюда вытекает, что следовательно,

Из доказанного свойства, в частности, вытекает: если то т. е. изменении знаков обеих частей неравенства на противоположные знак неравенства изменяется на противоположный.

5. Если то т. е. если из данного неравенства вычесть почленно неравенство противоположного ему смысла, то получим неравенство одинакового смысла с данным.

Доказательство. Действительно, так как то следовательно,

6. Если положительные числа и т. е. при почленном перемножении двух неравенств одинакового смысла с положительными членами получаем неравенство того же смысла.

Доказательство. Так как то из неравенства вытекает неравенство а

из неравенства неравенство Отсюда в силу транзитивности следует неравенство

7. Если то при всяком натуральном имеем т. е. неравенство с положительными членами не нарушится, если обе его части возвести в степень с одним и тем же натуральным показателем.

Доказательство. При неравенство справедливо по условию. Предположим, что оно верно при где произвольно выбранное натуральное число, т. е. что Умножим неравенство апочленно на неравенство получим

т. е. утверждение справедливо и при Следовательно, в силу принципа математической индукции оно справедливо для всякого натурального

8. Если числа одного знака и то

Доказательство. Пусть а и числа одного знака. Тогда Действительно, если то а Если же то из свойства 4 Еытекает т. е. снова Так как, кроме того, ибо если бы было равным нулю или меньшим нуля, то и число должно было бы быть соответственно равным нулю или меньшим нуля. Следовательно,

а это и означает, что

9. Если положительные числа и то

Доказательство. Действительно, из неравенства вытекает неравенство Перемножив

почленно неравенства получим неравенство

10. Если то при всяком натуральном имеет место неравенство

Действительно, если бы имело место неравенство то по свойству 7 выполнялось бы неравенство что противоречит условию. Точно так же не может иметь места и равенство ибо тогда было бы

Свойства 1—10 доказаны для строгих неравенств. Легко доказать, что все они справедливы и для нестрогих неравенств.