Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава VIII. НЕРАВЕНСТВА§ 1. Основные свойства неравенствНеравенства наряду с уравнениями играют существенную роль во всех разделах современной математики. Многие так называемые «классические» неравенства постоянно используются в различных исследованиях. Нередко также результаты исследований записывают в форме неравенств. Неравенством называют соотношение между двумя числами (величинами), указывающее, какое из них больше и какое меньше. Для обозначения неравенства употребляют знак
Если число а не меньше, чем число Если известно, что числа а и
Два неравенства, в которых левые части больше, чем их правые части, или левые части меньше, чем правые части, называют неравенствами одинакового смысла. Неравенства, в одном из которых левая часть больше правой, а в другом левая часть меньше, чем правая, называют неравенствами различного или противоположного смысла. Так, например, неравенства Теорию неравенств, как уже отмечалось в § 3 главы 1, можно построить только в упорядоченном поле. Среди числовых полей такими, как известно, являются поля рациональных и действительных чисел. Именно в этих полях мы и будем рассматривать неравенства. Определенные в полях рациональных и действительных чисел понятия «меньше», «больше» удовлетворяют соответственно требованиям первого и второго определений упорядоченного поля (см. § 3 главы 1). Всюду в дальнейшем мы будем ссылаться на второе определение упорядоченного поля. Числа, большие нуля, называются положительными, а числа, меньшие нуля, — отрицательными. Как известно, число а больше, чем число Напомним основные свойства неравенств. 1. Если Это свойство называется свойством транзитивности неравенств. Оно непосредственно вытекает из второго определения упорядоченного поля. 2. Если Это свойство также непосредственно вытекает из второго определения упорядоченного поля. Следствие. Всякое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Действительно, если
то, прибавив к обеим частям неравенства — получим:
а значит, слагаемое 3. Если Доказательство. Из неравенства
что и требовалось доказать. 4. Если Доказательство. Если Если же Из доказанного свойства, в частности, вытекает: если 5. Если Доказательство. Действительно, так как
6. Если Доказательство. Так как из неравенства 7. Если Доказательство. При
т. е. утверждение справедливо и при 8. Если числа Доказательство. Пусть а и
а это и означает, что
9. Если
Доказательство. Действительно, из неравенства почленно неравенства 10. Если Действительно, если бы имело место неравенство Свойства 1—10 доказаны для строгих неравенств. Легко доказать, что все они справедливы и для нестрогих неравенств.
|
1 |
Оглавление
|