§ 2. Решение показательных уравнений с одним неизвестным

Общего метода решения показательных уравнений не существует. Однако среди показательных уравнений можно выделить несколько групп, уравнения каждой из которых решаются одним и тем же приемом.

Первая группа. Простейшие показательные уравнения. Простейшим показательным уравнением называется уравнение вида

где а — отличное от 1 положительное число.

При уравнение (1) решений не имеет, так как при действительных значениях степень не может быть отрицательным числом или равняться нулю. При уравнение (1) имеет единственное решение:

Так, например, уравнение имеет единственное решение

Вторая группа. Показательные уравнения вида

где а — отличное от 1 положительное число, а элементарная алгебраическая функция.

Введением нового неизвестного уравнение (2) непосредственно сводится к простейшему показательному уравнению которое имеет решение только тогда, когда

Если то значит,

Решив это уравнение, найдем решения уравнения (2).

Замечание. Если числа а и в уравнениях (1) и (2) можно записать в виде степеней какого-либо одного и того же отличного от 1 положительного числа с, т. е. если то уравнения (1) и (2) можно решить не применяя логарифмов. Действительно, тогда уравнения (1) и (2) можно записать так:

Решение этих уравнений, по теореме 1, сводится к решению уравнений

Пример. Решить уравнение

Решение. Запишем это уравнение так:

Отсюда

Третья группа. Показательные уравнения вида

где а и отличные от 1 положительные числа, а элементарные алгебраические функции.

По теореме 1, уравнение (3) равносильно уравнению

Решение уравнения (3) сводится, таким образом, к решению уравнения (4).

Если а и есть степени какого-либо числа с, т. е. если то уравнение (3) можно записать так:

и решение его сведется к решению равносильного ему уравнения

Примеры. 1. Решить уравнение

Решение. Запишем заданное уравнение так:

Отсюда

2. Решить уравнение

Решение. Запишем это уравнение так:

Отсюда

По теореме 1, уравнение равносильно уравнению

а следовательно, и уравнению . Так как то и, значит,

Таким образом, — есть решение заданного уравнения.

Четвертая группа, Показательные уравнения вида

где какая-либо показательная функция, элементарная алгебраическая функция. Положив в уравнении получим уравнение

Если действительные решения уравнения (6), то для нахождения решений уравнения (5) остается решить уравнения

Примеры. Решить уравнение

Решение. Так как то заданное уравнение можно записать так:

Обе части этого уравнения умножим на отличный от нуля множитель получим уравнение

Положив получаем квадратное уравнение

Отсюда

уравнение решений не имеет, уравнение имеет единственное решение Следовательно, заданное уравнение имеет решение

2. Решить уравнение

Решение. Областью определения заданного уравнения является множество отличных от нуля действительных чисел. Разделим обе части заданного уравнения на выражение 4, которое не обращается в нуль. Получим уравнение

равносильное заданному.

Пусть Тогда и предыдущее уравнение запишется так:

Отсюда

Уравнение решений не имеет.

Уравнение имеет решение:

Следовательно, заданное уравнение имеет решение: