4. Решение системы двух однородных уравнений с двумя неизвестными.

Уравнение

называется однородным, если его левая часть есть однородный многочлен.

Всякое однородное уравнение с неизвестными имеет нулевое решение

Если однородное уравнение имеет ненулевое решение оно имеет бесконечное множество ненулевых решений где произвольное число. Действительно, если

то при произвольном

Поэтому если

то и

Рассмотрим систему двух однородных уравнений с двумя неизвестными:

Если члены многочленов имеют общий множитель то запишем систему так:

где — наименьшие показатели, с которыми входит соответственно в члены многочлена и многочлена

В этом случае система (24) имеет бесконечное множество решений вида где произвольное число. Всякому отличному от нуля числу соответствует ненулевое решение заданной системы.

Все другие ненулевые решения системы (если они существуют) должны иметь вид где отличное от нуля число. Поэтому для их нахождения будем считать допустимыми системами значений неизвестных лишь пары чисел ( у которых первое число отличное от нуля. Такое сужение области определения заданной системы уравнений не может привести к потере ненулевых решений вида . Разделим теперь уравнения системы соответственно на и Получим систему однородных уравнений

которая над суженной областью определения равносильна системе (24).

Предположим, что степень равна а степень Положив в системе будем иметь систему

Для нахождения всех ненулевых решений вида системы (25) надо найти все ненулевые решения вида системы (26). Система же (26) имеет решение вида тогда и только тогда, когда система

совместна. При этом всякое ненулевое решение системы (26) порождается решением системы (27), и, наоборот, всякое решение системы (27) порождает бесконечное множество ненулевых решений произвольное отличное от нуля число) системы (26). Действительно, если есть решение системы (26), то т. е. есть решение системы (27). Наоборот, если есть решение системы (27), то где - произвольное

отличное от нуля число, будет ненулевым решением системы (26). Следовательно, если есть множество всех решений системы (27), то множеством систем значений неизвестных

где произвольное отличное от нуля число, исчерпывается множество всех ненулевых решений системы (26), в которых значение неизвестного отлично от нуля; тогда множеством систем значений неизвестных

исчерпывается множество всех ненулевых решений системы (25), в которых значения неизвестного отличны от нуля.

Все рассуждения проведены нами в предположении, что члены многочленов имеют общий множитель . В том случае, когда общим множителем этих многочленов будет не а все рассуждения повторяются дословно, только везде вместо следует брать и наоборот.

Заметим, что преобразовывать уравнения системы (24) посредством замены неизвестного если члены этих уравнений имеют общий множитель нельзя; это приведет к потере решений . Поэтому мы и выделяем эти решения с самого начала.

Пример. Решить систему уравнений

Запишем эту систему так:

Следовательно, система имеет решения где произвольное число. Разделим первое уравнение на а второе — на Получим систему

Положив будем иметь

Решим теперь систему уравнений

Второе уравнение этой системы можно записать так:

и, значит, оно имеет решения Из этих решений первому уравнению системы (29) удовлетворяет лишь решение Следовательно, система (29) имеет решение и, значит, система (28) имеет бесконечное множество решений вида где произвольное число.