Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степениНеравенство
где многочлены от переменных называют алгебраическим. Если есть многочлены соответственно степени относительно переменных причем то неравенство (1) называют неравенством степени неизвестными. Неравенство первой степени с одним неизвестным в общем виде записывают так:
Коэффициенты неравенства (2) суть постоянные действительные числа; некоторые из них могут быть равными нулю. Для решения неравенства (2) перенесем его слагаемое в левую, а слагаемое в правую часть. Получим неравенство вида
Предположим, что в неравенстве (3) знак V обозначает символ Тогда будем иметь:
Если то делением обеих частей неравенства (4) на а получим:
и, следовательно, решением неравенства (4) является любое действительное число, большее, чем Множество всех решений представляет собой бесконечный интервал .
Рис. 14. Если то, разделив обе части неравенства (4) на а и заменив знак неравенства на противоположный, получим:
Следовательно, в этом случае решением неравенства (4) является любое действительное число, меньшее, чем Множество всех решений есть бесконечный интервал При неравенство (4) удовлетворяется произвольным действительным значением т. е. тождественно, при и оно решений не имеет.
Рис. 15. В случае, когда в неравенстве (3) знак V обозначает один из символов рассуждения проводяася аналогично. Пример. Решить неравенство
Решение. Умножив обе части неравенства на получим:
или
Отсюда
Неравенство второй степени с одним неизвестны в общем виде записывается так;
После перенесения всех его членов в левую часть оно будет иметь вид
где знак V обозначает один из символов Так как решение неравенств сводится к решению неравенств и уравнения то мы ограничимся рассмотрением неравенств Кроме того, будем считать, что старший коэффициент а есть число положительное. Этого всегда можно достичь, умножив обе части неравенства, в котором старший коэффициент а отрицательный, на — 1 и изменив знак неравенства на противоположный. Известно, что квадратный трехчлен с действительными коэффициентами имеет корни действительные различные, если действительные равные, если и комплексные сопряженные, если
Рис. 16. В § 3 главы 111 нами доказана теорема: квадратный трехчлен с с действительными коэффициентами, корни которого комплексные сопряженные, при всех действительных значениях сохраняет знак старшего коэффициента а. Трехчлен, имеющий двукратный корень, сохраняет знак старшего коэффициента а при всех действительных значениях отличных от корня — Трехчлен, корни которого действительные различные, при всех действительных значениях меньших меньшего и больших большего из корней, сохраняют знак старшего коэффициента при значениях содержащихся между корнями, имеет знак, противоположный знаку коэффициента а. Отсюда вытекает, что неравенство где выполняется: а) при тождественно (рис. 16); б) при в интервалах: (рис. ) в) при в интервалах где меньший, а больший корень трехчлена (рис 18). Неравенство где а) при не выполняется ни при каком значении (рис. 16); б) при также не выполняется ни при каком значении (рис.
Рис. 17.
Рис. 18. в) при выполняется в интервале (рис. 18). Примеры. 1. Решить неравенство
Решение.
Следовательно, неравенство выполняется в интервалах 2. Решить неравенство
Решение. В заданном неравенстве старший коэффициент отрицательный. Умножив обе части этого неравенства на —1 и заменив знак неравенства на противоположный, получим неравенство
в котором старший коэффициент положительный. Находим:
Следовательно, заданное неравенство решений не имеет.
|
1 |
Оглавление
|