§ 5. Решение алгебраических неравенств с одним неизвестным первой и второй степени

Неравенство

где многочлены

от переменных называют алгебраическим. Если есть многочлены соответственно степени относительно переменных причем то неравенство (1) называют неравенством степени неизвестными. Неравенство первой степени с одним неизвестным в общем виде записывают так:

Коэффициенты неравенства (2) суть постоянные действительные числа; некоторые из них могут быть равными нулю.

Для решения неравенства (2) перенесем его слагаемое в левую, а слагаемое в правую часть. Получим неравенство вида

Предположим, что в неравенстве (3) знак V обозначает символ Тогда будем иметь:

Если то делением обеих частей неравенства (4) на а получим:

и, следовательно, решением неравенства (4) является любое

действительное число, большее, чем Множество всех решений представляет собой бесконечный интервал .

Рис. 14.

Если то, разделив обе части неравенства (4) на а и заменив знак неравенства на противоположный, получим:

Следовательно, в этом случае решением неравенства (4) является любое действительное число, меньшее, чем Множество всех решений есть бесконечный интервал

При неравенство (4) удовлетворяется произвольным действительным значением т. е. тождественно, при и оно решений не имеет.

Рис. 15.

В случае, когда в неравенстве (3) знак V обозначает один из символов рассуждения проводяася аналогично.

Пример. Решить неравенство

Решение. Умножив обе части неравенства на получим:

или

Отсюда

Неравенство второй степени с одним неизвестны в общем виде записывается так;

После перенесения всех его членов в левую часть оно будет иметь вид

где знак V обозначает один из символов Так

как решение неравенств сводится к решению неравенств и уравнения то мы ограничимся рассмотрением неравенств

Кроме того, будем считать, что старший коэффициент а есть число положительное. Этого всегда можно достичь, умножив обе части неравенства, в котором старший коэффициент а отрицательный, на — 1 и изменив знак неравенства на противоположный.

Известно, что квадратный трехчлен с действительными коэффициентами имеет корни действительные различные, если действительные равные, если и комплексные сопряженные, если

Рис. 16.

В § 3 главы 111 нами доказана теорема: квадратный трехчлен с с действительными коэффициентами, корни которого комплексные сопряженные, при всех действительных значениях сохраняет знак старшего коэффициента а. Трехчлен, имеющий двукратный корень, сохраняет знак старшего коэффициента а при всех действительных значениях отличных от корня — Трехчлен, корни которого действительные различные, при всех действительных значениях меньших меньшего и больших большего из корней, сохраняют знак старшего коэффициента при значениях содержащихся между корнями, имеет знак, противоположный знаку коэффициента а.

Отсюда вытекает, что неравенство где выполняется:

а) при тождественно (рис. 16);

б) при в интервалах: (рис. )

в) при в интервалах где меньший, а больший корень трехчлена (рис 18).

Неравенство где

а) при не выполняется ни при каком значении (рис. 16);

б) при также не выполняется ни при каком значении (рис.

Рис. 17.

Рис. 18.

в) при выполняется в интервале (рис. 18).

Примеры. 1. Решить неравенство

Решение.

Следовательно, неравенство выполняется в интервалах

2. Решить неравенство

Решение. В заданном неравенстве старший коэффициент отрицательный. Умножив обе части этого неравенства на —1 и заменив знак неравенства на противоположный, получим неравенство

в котором старший коэффициент положительный. Находим:

Следовательно, заданное неравенство решений не имеет.