§ 3. Уравнения и системы уравнений, являющиеся следствием данной системы уравнений

Уравнение

называется следствием системы уравнений

если всякое решение системы (2) является решением уравнения (1).

Аналогично система уравнений

называется следствием системы уравнений (2), если всякое: решение системы (2) является решением системы (3).

Следовательно, всякому уравнению и всякой системе уравнений, являющейся следствием данной системы уравнений, удовлетворяют все решения данной системы. Но как уравнение, так и система уравнений, являющаяся следствием данной системы, может иметь также решения, которые не удовлетворяют данной системе уравнений. Эти решения называют посторонними для первоначальной системы уравнений.

Примеры. 1. Уравнение

является следствием системы уравнений

Действительно, если пара чисел удовлетворяет каждому из уравнений системы (5), то она удовлетворяет и уравнению (4).

Следовательно, всякое решение системы (5) является решением и уравнения (4).

2. Система уравнений

является следствием системы

а также системы

Действительно, всякое решение системы (7) и всякое решение системы (8) являются решениями системы (6).

Очевидно, что всякое решение системы (6), являющееся решением системы (8), будет посторонним для системы (7) и, наоборот, всякое решение системы (6), являющееся решением системы (7), будет посторонним для системы (8).

Система уравнений (3), очевидно, тогда и только тогда будет следствием системы уравнений (2), когда каждое уравнение системы (3) будет следствием системы (2).

Очевидно также, что две системы уравнений будут равносильными тогда и только тогда, когда каждая из этих систем будет следствием другой из них.

Теорема. Если в системе уравнений

одно из уравнений является следствием подсистемы, образованной всеми другими уравнениями системы, то эта подсистема равносильна заданной системе уравнений.

Доказательство. Предположим, что уравнение

системы (9) является следствием подсистемы

Докажем, что подсистема (10) равносильна системе (9). Действительно, уравнение

будучи следствием подсистемы (10), удовлетворяется любым решением этой подсистемы, и, следовательно, всякое решение подсистемы (10) удовлетворяет каждому уравнению системы (9), т. е. является решением системы (9). Наоборот, всякое решение системы (9) удовлетворяет каждому из уравнений этой системы, а значит, удовлетворяет каждому уравнению и подсистемы (10), т. е. является решением подсистемы (10). Этим теорема доказана.

Если какое-либо уравнение системы является следствием подсистемы, состоящей из всех других уравнений системы, то говорят, что это уравнение является следствием других уравнений системы. Доказанную теорему кратко формулируют так:

Если какое-либо из уравнений системы является следствием других ее уравнений, то его можно отбросить.

Из этой теоремы непосредственно вытекает такое следствие:

Всякое уравнение системы, которое удовлетворяется тождественно, можно отбросить.

Действительно, уравнение системы, которое удовлетворяется тождественно, можно считать следствием других уравнений системы и, значит, в силу доказанной выше теоремы его можно отбросить.