§ 4. Тождественность двух многочленов

В первом параграфе этой главы мы определили понятие тождественности двух многочленов. Тождественное равенство многочленов будем записывать так:

Естественно поставить вопрос: при каких условиях заданные в канонической форме многочлены будут тождественны? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Для того чтобы заданные в канонической форме многочлены были тождественными, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты их членов, содержащие переменные в одинаковых степенях, т. е. подобных членов.

Доказательство. Достаточность условия очевидна. Действительно, если

и

то мы имеем один и тот же (а не два различных) многочлен. Поэтому значения этих многочленов при произвольных числовых значениях равны между собой.

Докажем теперь необходимость условия. Сначала докажем необходимость условия для многочленов от одного переменного. Пусть

Если например то прибавим к многочлену члены считая коэффициенты равными нулю и положив запишем эти многочлены так:

Докажем теперь, что

При это действительно так. В самом деле, если многочлен тождественно равен многочлену

то, положив получим равенство следовательно,

Отсюда, положив получим равенство

Таким образом, в этом случае

Предположим теперь, что равенства (3) имеют место при и докажем, что тогда они будут иметь место и при

Пусть

Так как равенство (4) имеет место при любых численных значениях то оно будет иметь место и при где у означает произвольное число, т. е. имеют место тождества

Умножив обе части тождества (5) на и вычтя из него (по частям) тождество (6). получим:

Отсюда в силу предположения о наличии равенств (3) при вытекает, что

а следовательно,

Но тогда из тождества (4) вытекает тождество

Положив в этом тождестве получим равенство

Таким образом,

Так как равенства (3) имеют место при и из предположения, что они имеют место при вытекает наличие их и при то в силу принципа математической индукции они имеют место при любом натуральном Этим необходимость условия для многочленов от одного переменного доказана.

Докажем теперь необходимость условия для многочленов от переменных. Опять применим метод математической индукции. Предположим, что условие теоремы необходимо для многочленов от переменных, и докажем, что тогда оно необходимо и для многочленов от переменных. Пусть

и

Рассмотрим член многочлена Если в многочлене нет члена, подобного то прибавим к нему член считая равным нулю. Точно так же прибавим (в случае необходимости) к многочлену все другие члены с коэффициентами, равными нулю, которых в нем недостает. Тогда каждому члену одного из заданных многочленов будет соответствовать подобный член другого многочлена

(эти члены мы будем называть соответствующими) и многочлены запишутся так:

Расположим эти многочлены по убывающим степеням одного из переменных, например Для того чтобы записать многочлен по убывающим степеням сгруппируем все его члены, в которые входит в наивысшей степени (пусть это будет степень), и вынесем за скобки, затем сгруппируем все члены, в которые входит и вынесем за скобки и т. д. Выражения, которые останутся в скобках, будут многочленами от переменных; их мы обозначим соответственно символами

Аналогично поступим и с Тогда

Коэффициентами многочленов как это видно из изложенного выше, являются коэффициенты соответствующих членов (т. е. коэффициенты подобных членов) многочленов

По условию

Зафиксируем произвольно значения переменных Тогда тождество (7) можно рассматривать как тождество двух многочленов от одного переменного и поэтому в силу вышеизложенного соответственные коэффициенты этих многочленов будут равны, т. е.

Так как значения переменных можно выбрать произвольно, то эти равенства являются тождествами. Поэтому в силу предположения, что условие теоремы для многочленов от переменных необходимо, коэффициенты подобных членов многочленов равны. Но коэффициентами подобных членов многочленов как это отмечалось выше, являются коэффициенты соответственных (т. е. подобных) членов многочленов

и поэтому

Как было показано выше, равенство коэффициентов является необходимым условием тождественного равенства многочленов от одного переменного. Сейчас мы показали, что если это условие необходимо для многочленов от переменных, то оно необходимо также и для многочленов переменных. Поэтому в силу принципа математической индукции равенство коэффициентов необходимо для тождественного равенства многочленов от любого числа переменных.

Из теоремы о тождественности двух многочленов вытекают следующие следствия:

1. Всякий многочлен от нескольких переменных может быть записан в канонической форме (с точностью до порядка размещения членов) единственным способом.

Действительно, если

две записи многочлена в канонической форме, то

В силу теоремы о тождественности двух многочленов коэффициенты подобных членов левой и правой частей этого тождества будут равны, и, следовательно, две записи многочлена в канонической форме состоят из одних и тех же членов и могут отличаться одна от другой только порядком размещения членов.

2. Если заданный в канонической форме многочлен от нескольких переменных тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю.

Действительно, тождественно равный нулю многочлен тождествен нуль-многочлену, все коэффициенты которого равны нулю. Поэтому в силу теоремы о тождественности двух многочленов все коэффициенты многочлена равны нулю.