Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4. Тождественность двух многочленовВ первом параграфе этой главы мы определили понятие тождественности двух многочленов. Тождественное равенство многочленов
Естественно поставить вопрос: при каких условиях заданные в канонической форме многочлены Для того чтобы заданные в канонической форме многочлены Доказательство. Достаточность условия очевидна. Действительно, если
и
то мы имеем один и тот же (а не два различных) многочлен. Поэтому значения этих многочленов при произвольных числовых значениях Докажем теперь необходимость условия. Сначала докажем необходимость условия для многочленов от одного переменного. Пусть
Если
Докажем теперь, что
При
то, положив Отсюда, положив Таким образом, в этом случае
Предположим теперь, что равенства (3) имеют место при Пусть
Так как равенство (4) имеет место при любых численных значениях
Умножив обе части тождества (5) на
Отсюда в силу предположения о наличии равенств (3) при
а следовательно,
Но тогда из тождества (4) вытекает тождество
Положив в этом тождестве
Таким образом,
Так как равенства (3) имеют место при Докажем теперь необходимость условия для многочленов от
и
Рассмотрим член (эти члены мы будем называть соответствующими) и многочлены запишутся так:
Расположим эти многочлены по убывающим степеням одного из переменных, например
Аналогично поступим и с
Коэффициентами многочленов По условию
Зафиксируем произвольно значения переменных
Так как значения переменных
и поэтому
Как было показано выше, равенство коэффициентов является необходимым условием тождественного равенства многочленов от одного переменного. Сейчас мы показали, что если это условие необходимо для многочленов от Из теоремы о тождественности двух многочленов вытекают следующие следствия: 1. Всякий многочлен от нескольких переменных может быть записан в канонической форме (с точностью до порядка размещения членов) единственным способом. Действительно, если
две записи многочлена
В силу теоремы о тождественности двух многочленов коэффициенты подобных членов левой и правой частей этого тождества будут равны, и, следовательно, две записи многочлена в канонической форме состоят из одних и тех же членов и могут отличаться одна от другой только порядком размещения членов. 2. Если заданный в канонической форме многочлен от нескольких переменных тождественно равен нулю, то все его коэффициенты равны нулю. Действительно, тождественно равный нулю многочлен
|
1 |
Оглавление
|