§ 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значений

Общий метод определения наибольших и наименьших значений функций рассматривается в дифференциальном исчислении. В этом параграфе мы ознакомимся с элементарными способами решения некоторых задач на нахождение наибольших и наименьших значений, которые основываются на использовании рассмотренных в предыдущем параграфе неравенств.

Теорема 1. Произведение где — любые положительные числа, сумма которых равна данному числу произвольные положительные рациональные числау имеет наибольшее значение тогда, когда

Доказательство. 1. Предположим, что натуральные числа. Рассмотрим положительных чисел

Их среднее геометрическое не больше, чем среднее арифметическое,

Отсюда

Так как правая часть этого неравенства есть постоянное число, не зависящее от значений то левая ее часть будет иметь наибольшее значение тогда, когда неравенство превратится в равенство. Последнее возможно лишь при равенстве

2. Пусть суть дробные числа. Тогда

где наименьшее общее кратное знаменателей соответствующие дополнительные множители.

Произведение будет наибольшим тогда, когда будет наибольшим подкоренное выражение Подкоренное же выражение при постоянной сумме в силу доказанного выше будет наибольшим тогда, когда

Разделив знаменатели этого соотношения на получим что и требовалось доказать.

Следствие. Произведение

положительных чисел с постоянной суммой будет наибольшим тогда, когда

Сформулированное следствие непосредственно вытекает из теоремы 1, если положить там Теорема 2. Сумма

положительных чисел с постоянным произведением степеней произвольные положительные рациональные числа) принимает наименьшее значение тогда, когда

Доказательство. Неравенство (1) запишем так:

Так как правая часть последнего неравенства является постоянным числом, то левая ее часть будет иметь наименьшее значение тогда, когда неравенство превратится в равенство, т. е. тогда, когда Следовательно, в случае, когда натуральные числа, теорема 2 доказана.

Если дробные числа где постоянное число, то где наименьшее общее кратное знаменателей также является постоянным числом. В силу доказанного сумма

будет иметь наименьшее значение тогда, когда т. е. когда

Применяя теоремы 1 и 2, можно решить много интересных задач на нахождение наибольших или наименьших значений. Задачи на нахождение наибольшего значения при данном и наименьшею значения при данном называют взаимными. Для обеих этих задач решение дается условиями

Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем.

1. Среди всех прямоугольников, имеющих данный периметр найти тот, площадь которого наибольшая.

Решение. Пусть х и у — длины сторон прямоугольника. Тогда Мы знаем, что при данной сумме произведение имеет наибольшее значение когда т. е. когда прямоугольник является квадратом.

Взаимная задача формулируется следующим образом: среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь найти тот, периметр которого наименьший. Ответ тот же: квадрат.

2. Прочность балки с прямоугольным сечением прямо пропорциональна ее ширине и квадрату высоты. При каких размерах сечения балка, вырезанная из круглой колоды диаметра будет иметь наибольшую прочность?

Решение. Прочность балки вычисляется по формуле где постоянная величина, ширина и у — высота сечения балки. По условию Функция будет иметь наибольшее значение тогда, когда произведение будет иметь наибольшее значение. Таким образом, для решения задачи надо найти значения х и у, при которых произведение будет иметь наибольшее значение.

Так как постоянной здесь является сумма то для того, чтобы воспользоваться теоремой 2. необходимо представить интересующее нас произведение в виде

произведения степеней . С этой целью заметим, что величина будет иметь наибольшее значение одновременно с с произведением которое можно представить в виде Вследствие равенства из теоремы 2 выводим, что произведение будет иметь наибольшее значение при

Отсюда

3. Даны две параллельные прямые и точка С между ними. Построить прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и вершинами на заданных параллельных прямых, площадь которого была бы наименьшей.

Рис. 10.

Решение. Через точку С (рис. 10) проводим перпендикуляр к параллельным прямым. Предположим, что Треугольники и подобные. Поэтому

Отсюда

Так как то . Отсюда вытекает, что площадь S будет иметь наименьшее значение тогда, когда наименьшее значение будет иметь сумма —

Произведение равно данному числу поэтому сумма имеет наименьшее значение при т. е. при Но если то Треугольник построить теперь довольно просто.

4. Найти кратчайший отрезок, который делит равносторонний треугольник с стороной а на две равновеликие части.

Рис. 11.

Решение. Предположим, что искомым отрезком является отрезок (рис. 11). Пусть . С другой стороны, Следовательно, и, значит, По теореме косинусов отсюда . Нам надо найти наименьшее значение Но будет наименьшим тогда, когда наименьшим будет . В свою очередь будет наименьшим тогда, когда будет иметь наименьшее значение. Таким образом, решение задачи сводится к нахождению наименьшего значения суммы двух слагаемых произведение которых равно данному числу Как известно, сумма эта имеет наименьшее значение при т. е. при . При этом

Таким образом, искомый отрезок равен стороне квадрата, вписанного в окружность, построенную на стороне треугольника как на диаметре.

5. Среди прямоугольных параллелепипедов с данной полной поверхностью найти тот, который имеет наибольший объем.

Решение. Пусть длины ребер искомого параллелепипеда, V — его объем, полная поверхность. Так как значение дано, то можно считать заданным и Таким образом, данное число. Надо найти наибольшее значение Очевидно, что V будет наибольшим тогда, когда наибольшим будет

Так как данное число, то произведение будет наибольшим при т. е. при Таким образом, искомым параллелепипедом является куб. Взаимная задача формулируется так:

Среди прямоугольных параллелепипедов с данным объемом найти параллелепипед, имеющий наименьшую полную поверхность. Этим параллелепипедом также является куб. 6. В данный шар вписать конус наибольшего объема. Решение. Пусть радиус шара, х и у — соответственно радиус основания и высота вписанного конуса, его объем (рис. 12),

Рис. 12.

Рис. 13.

Из рисунка видно, что А В является средним пропорциональным между и Следовательно, или Далее, откуда Объем V, очевидно, будет иметь наибольшее значение тогда, когда наибольшее значение будет иметь произведение

Так как сумма данное число, то произведение имеет наибольшее значение при

7. В треугольнике найти точку О, сумма квадратов расстояний которой от сторон треугольника наименьшая.

Решение. Обозначим стороны треугольника (рис. 13)

буквами а расстояния искомой точки О от этих сторон — соответственно буквами Тогда будем иметь:

где - площадь данного треугольника. Сумма квадратов расстояний точки О от сторон треугольника будет равна

В силу неравенства Коши

т. е.

Правая часть неравенства есть постоянное число. Поэтому левая часть неравенства будет иметь наименьшее значение тогда, когда неравенство превратится в равенство, что имеет место при Из этих соотношений и из уравнения находим: