Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значенийОбщий метод определения наибольших и наименьших значений функций рассматривается в дифференциальном исчислении. В этом параграфе мы ознакомимся с элементарными способами решения некоторых задач на нахождение наибольших и наименьших значений, которые основываются на использовании рассмотренных в предыдущем параграфе неравенств. Теорема 1. Произведение
Доказательство. 1. Предположим, что
Их среднее геометрическое не больше, чем среднее арифметическое,
Отсюда
Так как правая часть этого неравенства есть постоянное число, не зависящее от значений
2. Пусть
где Произведение
Разделив знаменатели этого соотношения на Следствие. Произведение
положительных чисел с постоянной суммой Сформулированное следствие непосредственно вытекает из теоремы 1, если положить там
положительных чисел с постоянным произведением степеней Доказательство. Неравенство (1) запишем так:
Так как правая часть последнего неравенства является постоянным числом, то левая ее часть Если будет иметь наименьшее значение тогда, когда Применяя теоремы 1 и 2, можно решить много интересных задач на нахождение наибольших или наименьших значений. Задачи на нахождение наибольшего значения Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем. 1. Среди всех прямоугольников, имеющих данный периметр Решение. Пусть х и у — длины сторон прямоугольника. Тогда Взаимная задача формулируется следующим образом: среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь 2. Прочность балки с прямоугольным сечением прямо пропорциональна ее ширине и квадрату высоты. При каких размерах сечения балка, вырезанная из круглой колоды диаметра Решение. Прочность балки вычисляется по формуле Так как постоянной здесь является сумма произведения степеней
Отсюда
3. Даны две параллельные прямые и точка С между ними. Построить прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и вершинами
Рис. 10. Решение. Через точку С (рис. 10) проводим перпендикуляр к параллельным прямым. Предположим, что
Отсюда
Так как Произведение 4. Найти кратчайший отрезок, который делит равносторонний треугольник с стороной а на две равновеликие части.
Рис. 11. Решение. Предположим, что искомым отрезком является отрезок Таким образом, искомый отрезок равен стороне квадрата, вписанного в окружность, построенную на стороне треугольника как на диаметре. 5. Среди прямоугольных параллелепипедов с данной полной поверхностью найти тот, который имеет наибольший объем. Решение. Пусть
Среди прямоугольных параллелепипедов с данным объемом найти параллелепипед, имеющий наименьшую полную поверхность. Этим параллелепипедом также является куб. 6. В данный шар вписать конус наибольшего объема. Решение. Пусть
Рис. 12.
Рис. 13. Из рисунка видно, что А В является средним пропорциональным между Так как сумма 7. В треугольнике Решение. Обозначим стороны треугольника (рис. 13) буквами
где В силу неравенства Коши
т. е.
Правая часть неравенства есть постоянное число. Поэтому левая часть неравенства будет иметь наименьшее значение тогда, когда неравенство превратится в равенство, что имеет место при
|
1 |
Оглавление
|