Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Применение неравенств для определения наибольших и наименьших значенийОбщий метод определения наибольших и наименьших значений функций рассматривается в дифференциальном исчислении. В этом параграфе мы ознакомимся с элементарными способами решения некоторых задач на нахождение наибольших и наименьших значений, которые основываются на использовании рассмотренных в предыдущем параграфе неравенств. Теорема 1. Произведение
Доказательство. 1. Предположим, что
Их среднее геометрическое не больше, чем среднее арифметическое,
Отсюда
Так как правая часть этого неравенства есть постоянное число, не зависящее от значений
2. Пусть
где Произведение
Разделив знаменатели этого соотношения на Следствие. Произведение
положительных чисел с постоянной суммой Сформулированное следствие непосредственно вытекает из теоремы 1, если положить там
положительных чисел с постоянным произведением степеней Доказательство. Неравенство (1) запишем так:
Так как правая часть последнего неравенства является постоянным числом, то левая ее часть Если будет иметь наименьшее значение тогда, когда Применяя теоремы 1 и 2, можно решить много интересных задач на нахождение наибольших или наименьших значений. Задачи на нахождение наибольшего значения Рассмотрим несколько примеров применения доказанных теорем. 1. Среди всех прямоугольников, имеющих данный периметр Решение. Пусть х и у — длины сторон прямоугольника. Тогда Взаимная задача формулируется следующим образом: среди всех прямоугольников, имеющих данную площадь 2. Прочность балки с прямоугольным сечением прямо пропорциональна ее ширине и квадрату высоты. При каких размерах сечения балка, вырезанная из круглой колоды диаметра Решение. Прочность балки вычисляется по формуле Так как постоянной здесь является сумма произведения степеней
Отсюда
3. Даны две параллельные прямые и точка С между ними. Построить прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С и вершинами
Рис. 10. Решение. Через точку С (рис. 10) проводим перпендикуляр к параллельным прямым. Предположим, что
Отсюда
Так как Произведение 4. Найти кратчайший отрезок, который делит равносторонний треугольник с стороной а на две равновеликие части.
Рис. 11. Решение. Предположим, что искомым отрезком является отрезок Таким образом, искомый отрезок равен стороне квадрата, вписанного в окружность, построенную на стороне треугольника как на диаметре. 5. Среди прямоугольных параллелепипедов с данной полной поверхностью найти тот, который имеет наибольший объем. Решение. Пусть
Среди прямоугольных параллелепипедов с данным объемом найти параллелепипед, имеющий наименьшую полную поверхность. Этим параллелепипедом также является куб. 6. В данный шар вписать конус наибольшего объема. Решение. Пусть
Рис. 12.
Рис. 13. Из рисунка видно, что А В является средним пропорциональным между Так как сумма 7. В треугольнике Решение. Обозначим стороны треугольника (рис. 13) буквами
где В силу неравенства Коши
т. е.
Правая часть неравенства есть постоянное число. Поэтому левая часть неравенства будет иметь наименьшее значение тогда, когда неравенство превратится в равенство, что имеет место при
|
1 |
Оглавление
|