§ 4. Основные элементарные методы решения систем уравнений

Задача решения систем уравнений, вообще говоря, довольно трудна и далеко не всегда поддается средствам элементарной алгебры. Чаще всего при решении системы уравнений заданную систему заменяют, если это возможно, равносильной ей, но более простой. Процесс замены продолжают до тех пор, пока не удается получить систему, которая уже легко решается. При этом всегда начинают с

рассмотрения отдельных уравнений системы, пытаясь заменить их более простыми.

Основными элементарными методами решения систем уравнений являются метод алгебраического сложения и метод подстановки. Рассмотрим каждый из этих методов.

Метод алгебраического сложения основывается на теореме 2 (§ 2 этой главы).

При решении системы уравнений этим методом некоторые из ее уравнений умножают на специально подобранные множители, которые определены при всех допустимых системах значений неизвестных, и затем по частям прибавляют их к одному из других уравнений системы, которое в случае необходимости также умножают на специально подобранный множитель, определенный и отличный от нуля при всех допустимых системах значений неизвестных.

В результате этого одно из уравнений системы заменяется новым уравнением. Множители при этом подбираются так, чтобы это новое уравнение было более простым по сравнению с замененным уравнением. В частности, иногда уравнение, к которому прибавляются другие уравнения, ни на какой множитель не умножают, т. е. специальный множитель для этого уравнения равен 1.

Чаще всего (но не всегда!) множители подбирают так, чтобы в новом уравнении уменьшилось количество неизвестных. Операцию «сложения» повторяют, применяя ее к различным уравнениям системы, до тех пор, пока не получат систему, которая уже легко решается (например, содержит лишь одно неизвестное). Полученная таким образом система уравнений равносильна заданной системе, ибо при каждом очередном выполнении операции «сложения» получают систему уравнений, равносильную, по теореме 2, § 2, предшествующей, а следовательно, и заданной системе. Поэтому для решения заданной системы достаточно решить полученную систему.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Умножим первое уравнение системы на и затем по частям прибавим его ко второму уравнению. Получим систему

Рассматривая второе уравнение этой системы

приходим к выводу, что решениями его будут те и только те системы значений неизвестных, которые превращают в нуль или множитель левой части уравнения, или множитель

Следовательно, решениями второго уравнения системы будут системы значений неизвестных

(где - произвольные числа) и только они.

Подставляя эти системы значений в первое уравнение системы, найдем, чему равны и таким образом определим все решения системы (1). Так, положив в первом уравнении будем иметь

Отсюда значит,

суть решения системы уравнений.

Положив, будем иметь

Решив это уравнение, найдем еще два решения заданной системы:

Наконец, положив в первом уравнении найдем еще два решения:

Иногда при решении системы уравнений методом алгебраического сложения некоторые из уравнений, к которым прибавляются другие уравнения, умножают на множители, обращающиеся в нуль при некоторых допустимых системах значений неизвестных. Тогда, как указывалось в § 2 этой главы, система уравнений, которая получается в результате применения метода алгебраического сложения, будет следствием заданной системы, но не обязательно равносильной ей. Поэтому в этом случае для решения заданной системы уравнений находят все решения системы, полученной как следствие из заданной системы, и затем путем подстановки их в заданную систему определяют, какие из них являются решениями заданной системы.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Умножим первое уравнение на на и затем первое и второе уравнения сложим. Получим систему

Рассматривая первое уравнение этой системы

мы видим, что его решениями будут системы значений

(где произвольные числа) и только они. Подставив эти системы значений во второе уравнение системы (4), найдем, чему равны и определим все решения системы (4). При имеем значит, При имеем — Отсюда Следовательно, система (4) имеет следующие три решения:

Подставляя эти решения в систему (3), убеждаемся, что только первые два из них удовлетворяют системе (3). Следовательно, система (3) имеет два решения:

Метод подстановки основывается на теореме 3 (§ 2 этой главы). При решении системы уравнений

методом подстановки решают одно из ее уравнений, например последнее, относительно одного из неизвестных, например и записывают его в виде

т. е. уравнение заменяют равносильным ему уравнением

Найденное выражение для подставляют во все другие уравнения системы. В результате этого получают систему

в которой число уравнений и число неизвестных на единицу меньше, чем в первоначально заданной.

Систему уравнений (7) с неизвестными решают и затем для каждого ее решения подставляя это решение в формулу (6), определяют соответствующее значение исключенного неизвестного

Найденные таким образом системы значений неизвестных являются решениями заданной системы уравнений, и никаких других решений система (5) не имеет.

Действительно, если есть решение системы (7) и то система значений является решением системы

и, наоборот, если есть решение системы (8), то есть решение системы (7) и Следовательно, найденные системы значений неизвестных являются решениями системы (8) и ими исчерпываются все ее решения. Но так как

и

есть равносильные уравнения, то, по теореме 3 (§ 2 этой главы), заданная система уравнений (5) равносильна системе (8) и, следовательно, имеет то же множество решений, что и система (8). Следовательно, найденные нами системы значений неизвестных и только они являются решениями заданной системы уравнений.

Если какое-либо уравнение системы (7) может быть записано в виде то для решения ее также можно применить метод подстановки. Это еще уменьшит на единицу число уравнений и число неизвестных. Процесс исключения неизвестных методом подстановки продолжают и дальше, если это возможно и в этом есть необходимость, до тех пор, пока не получат систему, решения которой известны или легко определяются. Если же в результате описанного процесса получают несовместную систему или уравнение, не имеющее решений, то и заданная система уравнений несовместна.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Разрешив второе уравнение системы относительно получим

Найденное выражение для подставим в первое и третье уравнения системы. Получим систему

Разрешив второе уравнение этой системы относительно з, получим

Подставим это выражение для 3 в первое уравнение системы (12). Будем иметь:

Отсюда

и, следовательно,

Для определения соответствующих значений 3 подставим значения 2 и 2 в формулу (13) и получим

Подставив системы значений в формулу (11), определим соответствующие значения

Следовательно, заданная система уравнений (10) имеет два решения:

Заметим, что механическое применение метода подстановки для решения систем уравнений иногда может привести к потере решений заданной системы. Действительно, в процессе решения системы уравнений методом подстановки приходится уравнения вида

разрешать относительно одного из неизвестных и заменять их уравнениями вида

Область определения уравнения (15) может оказаться уже, чем область определения уравнения (14), т. е. некоторые из допустимых систем значений неизвестных уравнений (14) могут не быть допустимыми для уравнения (15). Это возможно в тех случаях, когда является допустимой системой значений неизвестных для уравнения (14), но не имеет смысла. Тогда может случиться, что некоторые из решений уравнений (14; не будут

удовлетворять уравнению (15) и поэтому в результате замены уравнения (14) уравнением (15) может получиться система уравнений, которую некоторые из решений предшествующей ей, а значит, и заданной системы не будут удовлетворять. Это и приведет к потере решений заданной системы уравнений.

Так, например, если, решая систему уравнений

методом подстановки, из первого ее уравнения неизвестное выразим через и затем найденное выражение

подставим во второе уравнение, то получим

Отсюда

и, следовательно,

Подставив значение в соотношение

определяем соответственно значения неизвестного

и, таким образом, находим два решения системы (16):

Если же из второго уравнения неизвестное выразим через неизвестное и найденное выражение

подставим в первое ее уравнение, то будем иметь

откуда

Решениями этого уравнения являются

Подставив эти значения в соотношение

определим значения

и таким образом, находим три решения системы (16):

Следовательно, применяя для исключения из системы (16) неизвестного подстановку мы потеряли решение Произошло это потому, что уравнение было заменено уравнением которому решение не удовлетворяет. Применяя же для исключения неизвестного подстановку мы заменили уравнение

равносильным ему уравнением

Действительно, всякое решение уравнения (18) является решением уравнения (17). Наоборот, всякое решение уравнения (17) является решением также и уравнения (18), ибо уравнению (18) могли бы не удовлетворять лишь те решения уравнения (17), которые имеют вид но уравнение (17) таких решений не имеет. Поэтому таким путем были найдены все решения системы (16).

При решении систем уравнений элементарными способами нередко приходится комбинировать методы алгебраического сложения, подстановки, введения новых неизвестных (замену неизвестных), а также применять различные частные приемы, используя специфические особенности заданной системы. Различных частных приемов решения систем уравнений настолько много, что их невозможно предусмотреть никакой общей теорией. При применении этих частных приемов в каждом конкретном случае возникает следующий вопрос: все ли найденные нами решения удовлетворяют заданной системе уравнений и не потеряли ли мы каких-либо из ее решений? Каждый раз этот вопрос должен быть специально исследован. Наличие посторонних решений выявляют путем подстановки всех найденных решений в заданную систему. Для выяснения же вопроса о том, не потеряны ли некоторые решения системы, надо внимательно рассмотреть все преобразования, которые выполнялись в процессе решений заданной системы, и исследовать, не приводят ли некоторые из них к потере решений. С примерами таких исследований мы ознакомимся при рассмотрении некоторых систем уравнений.