§ 5. Вычисление сумм степеней первых n чисел натурального ряда
В заключение этой главы вычислим, применяя бином Ньютона, сумму 
степеней первых 
натуральных чисел:
Запишем по формуле бинома Ньютона следующие равенства:
(см. скан)
Сложив соответственно левые и правые части этих равенств и уничтожив одинаковые числа в левой и правой частях полученного равенства, будем иметь:
Обозначив
запишем предыдущее равенство в виде
Это соотношение позволяет вычислить 
если известны предшествующие суммы 
Так, положив в нем 
получаем:
откуда
При 
имеем:
откуда
Положив 
получаем:
Отсюда
Следовательно,
Сравнив формулы (4) и (2), заметим, что 
т. е. сумма кубов 
первых чисел натурального ряда равна квадрату их суммы.
Подставляя в соотношение (1) вместо 
числа 
, найдем выражение для 
Пример. Вычислить сумму 
.
Подставив в формуле 
вместо 
число 5, получим
Следовательно,
Как было замечено выше,
т. е.
