Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Равносильность систем уравненийДве системы уравнений с одними и теми же неизвестными.
и
рассматриваемые над одним и тем же числовым полем Две несовместные системы уравнений также считаются равносильными. Две равносильные системы уравнений могут состоять из одинакового и различного количества уравнений. В частности, система уравнений может быть равносильна одному уравнению. Примеры. 1. Система уравнений
где
над всяким числовым полем. Действительно, всякое решение 2. Над полем действительных чисел система уравнений
равносильна уравнению
так как в этом поле единственным решением как системы (5), так и уравнения (6) является система значений неизвестных Как и понятие равносильности уравнений, понятие равносильности систем уравнений является относительным: две системы уравнений могут быть равносильными над одним числовым полем и неравносильными над другим. Так, например, системы уравнений
и
над полем действительных чисел равносильны, поскольку в этом поле обе они имеют единственное решение: Над полем комплексных чисел эти системы не равносильны: система (7) имеет в поле комплексных чисел единственное решение
Очевидно, что две системы уравнений, равносильные одной и той же третьей системе, равносильны между собой. Наиболее распространенным приемом решения систем уравнений является переход от данной системы уравнений к новой, равносильной данной, но более простой. Рассмотрим некоторые способы получения новых систем уравнений, равносильных заданной. Предположим, что нам даны две системы уравнений:
и
Если каждое уравнение второй системы входит в первую, то вторую систему называют подсистемой первой системы. Теорема 1. Если в системе уравнений
любую ее подсистему заменим равносильной ей системой уравнений, то получим систему уравнений, равносильную заданной. Кратко эту теорему можно формулировать так: В системе уравнений можно заменить любую ее подсистему равносильной ей системой уравнений. Предположим, что в системе (9) подсистема, состоящая из некоторых
Так как нумерацию уравнений системы мы можем изменять, то всякие 5 уравнений системы мы можем занумеровать числами Итак, будем считать, что системой (10) заменена подсистема
В результате такой замены получим систему уравнений
состоящую из системы (10) и подсистемы
Системы уравнений (9) и (12) равносильны. Действительно, всякое решение системы (9), будучи решением каждого из уравнений этой системы, является решением и подсистем (11) и (13), а следовательно, и системы (10), равносильной подсистеме (11). Будучи решением системы (10) и подсистемы (13), это решение является решением и системы (12). Наоборот, всякое решение системы уравнений (12) является решением системы (10) и подсистемы (13), а значит, и подсистемы (11), равносильной системе (10). Будучи решением подсистем (11) и (13), оно является решением и системы (9). Из этой теоремы вытекает непосредственно следующее следствие: Если в системе уравнений заменим любое ее уравнение равносильным ему уравнением, то получим систему уравнений, равносильную первоначальной. Так как каждое уравнение
системы
можно заменить равносильным ему уравнением
т. е. уравнением вида уравнений (14) всегда можно заменить равносильной ей системой уравнений вида
Всюду дальше в общих рассуждениях мы будем рассматривать лишь системы уравнений именно такого вида. Теорема 2. Если к одному из уравнений системы
умноженному на множитель Доказательство. Предположим, что последнее уравнение системы (16) умножено на определенный и отличный от нуля при всех допустимых системах значений неизвестных множитель
равносильна системе (16). Пусть
Тогда также
и, значит,
Следовательно, Наоборот, всякое решение
системы (17) является решением и системы (16). Действительно, из равенств
вытекает справедливость равенства
последнее и означает, что Если множитель Теорема 3. Если уравнение
равносильно уравнению
системы
то система (20) равносильна системе (см. скан) Доказательство. Всякое решение системы (20) является решением системы (21). Действительно, если
так как уравнение (18) равносильно уравнению (19). Поэтому (см. скан) следовательно, Наоборот, всякое решение системы (21) является решением и системы (20). Действительно, если система чисел
и
ибо уравнение (19) равносильно уравнению (18). Поэтому (см. скан) и следовательно,
|
1 |
Оглавление
|