§ 2. Равносильность систем уравнений

Две системы уравнений с одними и теми же неизвестными.

и

рассматриваемые над одним и тем же числовым полем называются равносильными над этим полем, если каждое решение любой из этих систем уравнений является решением и другой из них.

Две несовместные системы уравнений также считаются равносильными.

Две равносильные системы уравнений могут состоять из одинакового и различного количества уравнений. В частности, система уравнений может быть равносильна одному уравнению. Примеры.

1. Система уравнений

где любые числа, равносильна системе

над всяким числовым полем.

Действительно, всякое решение системы (3) является решением системы (4), и, наоборот, всякое решение системы (4) является решением и системы (3).

2. Над полем действительных чисел система уравнений

равносильна уравнению

так как в этом поле единственным решением как системы (5), так и уравнения (6) является система значений неизвестных

Как и понятие равносильности уравнений, понятие равносильности систем уравнений является

относительным: две системы уравнений могут быть равносильными над одним числовым полем и неравносильными над другим.

Так, например, системы уравнений

и

над полем действительных чисел равносильны, поскольку в этом поле обе они имеют единственное решение:

Над полем комплексных чисел эти системы не равносильны: система (7) имеет в поле комплексных чисел единственное решение а система (8) — три решения:

Очевидно, что две системы уравнений, равносильные одной и той же третьей системе, равносильны между собой.

Наиболее распространенным приемом решения систем уравнений является переход от данной системы уравнений к новой, равносильной данной, но более простой.

Рассмотрим некоторые способы получения новых систем уравнений, равносильных заданной. Предположим, что нам даны две системы уравнений:

и

Если каждое уравнение второй системы входит в первую, то вторую систему называют подсистемой первой системы.

Теорема 1. Если в системе уравнений

любую ее подсистему заменим равносильной ей системой уравнений, то получим систему уравнений, равносильную заданной.

Кратко эту теорему можно формулировать так:

В системе уравнений можно заменить любую ее подсистему равносильной ей системой уравнений.

Предположим, что в системе (9) подсистема, состоящая из некоторых ее уравнений, заменена равносильной ей системой

Так как нумерацию уравнений системы мы можем изменять, то всякие 5 уравнений системы мы можем занумеровать числами Поэтому можем считать, не теряя общности рассуждений, что системой (10) заменена подсистема, состоящая из первых уравнений системы (9).

Итак, будем считать, что системой (10) заменена подсистема

В результате такой замены получим систему уравнений

состоящую из системы (10) и подсистемы

Системы уравнений (9) и (12) равносильны. Действительно, всякое решение системы (9), будучи решением каждого из уравнений этой системы, является решением и подсистем (11) и (13), а следовательно, и системы (10), равносильной подсистеме (11). Будучи решением системы (10) и подсистемы (13), это решение является решением и системы (12). Наоборот, всякое решение системы уравнений (12) является решением системы (10) и подсистемы (13), а значит, и подсистемы (11), равносильной системе (10). Будучи решением подсистем (11) и (13), оно является решением и системы (9).

Из этой теоремы вытекает непосредственно следующее следствие:

Если в системе уравнений заменим любое ее уравнение равносильным ему уравнением, то получим систему уравнений, равносильную первоначальной.

Так как каждое уравнение

системы

можно заменить равносильным ему уравнением

т. е. уравнением вида то и систему

уравнений (14) всегда можно заменить равносильной ей системой уравнений вида

Всюду дальше в общих рассуждениях мы будем рассматривать лишь системы уравнений именно такого вида.

Теорема 2. Если к одному из уравнений системы

умноженному на множитель имеющий смьхл и не обращающийся в нуль при всех допустимых системах значений неизвестных, прибавим некоторые другие ее уравнения, умноженные на любые множители определенные при всех допустимых системах значений неизвестных, а остальные уравнения оставим без изменений, то получим систему уравнений, равносильную заданной.

Доказательство. Предположим, что последнее уравнение системы (16) умножено на определенный и отличный от нуля при всех допустимых системах значений неизвестных множитель и затем к нему прибавлены первые уравнений системы, умноженные соответственно на множители которые определены при всех допустимых системах значений неизвестных. Докажем, что система

равносильна системе (16).

Пусть есть некоторое решение системы (16), т. е.

Тогда также

и, значит,

Следовательно, есть решение системы (17). Таким образом, всякое решение системы (16) является решением и системы (17).

Наоборот, всякое решение

системы (17) является решением и системы (16). Действительно, из равенств

вытекает справедливость равенства так как а значит, и справедливость равенств

последнее и означает, что является решением системы (16). Этим теорема доказана.

Если множитель при некоторых допустимых системах значений неизвестных обращается в нуль, то система (17), как видно из доказанной теоремы, будет следствием системы (16), но не обязательно равносильной ей. В частности, это может случиться тогда, когда множитель обращается в нуль при значениях равных некоторым из решений системы (17).

Теорема 3. Если уравнение

равносильно уравнению

системы

то система (20) равносильна системе

(см. скан)

Доказательство. Всякое решение системы (20) является решением системы (21). Действительно, если есть решение системы (20), то

так как уравнение (18) равносильно уравнению (19). Поэтому

(см. скан)

следовательно, удовлетворяют всем уравнениям системы (21).

Наоборот, всякое решение системы (21) является решением и системы (20). Действительно, если система чисел удовлетворяет всем уравнениям системы (21), то

и

ибо уравнение (19) равносильно уравнению (18). Поэтому

(см. скан)

и следовательно, есть решение системы (20).