§ 6. Применение метода неопределенных коэффициентов при выполнении алгебраических действий над многочленами

В ряде случаев при алгебраических преобразованиях мы встречаемся со следующей ситуацией: вид результата может быть указан до выполнения преобразований. Например, при перемножении двух квадратных трехчленов мы заранее знаем, что произведением их является многочлен четвертой степени, неизвестными остаются лишь его коэффициенты. Точно так же при делении многочлена

той степени на бином а в частном непременно получится многочлен четвертой степени, а в остатке — постоянное число, которое может, в частности, оказаться равным нулю.

Во всех таких случаях результат преобразований может быть записан в заранее известном виде с наперед неизвестными — неопределенными — коэффициентами, которые можно обозначить какими-либо буквами. Аналитическое выражение, имеющее в своем составе неопределенные коэффициенты, называют выражением с неопределенными коэффициентами.

Если из каких-либо соображений удается найти числовые значения неопределенных коэффициентов, то тем самым будет найден искомый результат алгебраического преобразования. Такой способ нахождения результата алгебраических действий — путем записи его в виде выражения с неопределенными коэффициентами с последующим их нахождением — называют методом неопределенных коэффициентов. Для его применения необходимо заранее знать, в каком виде может быть представлен результат данного действия.

Часто неопределенные коэффициенты алгебраического выражения определяют исходя из того, что при заданных значениях переменных, входящих в алгебраическое выражение, оно принимает определенные значения. В этом случае в выражение вместо переменных подставляют их определенные значения и результаты, получаемые при этом, приравнивают соответствующим числам. Таким образом получают систему уравнений, в которой неизвестными будут неопределенные коэффициенты. Если система уравнений совместна и имеет единственное решение, то для неопределенных коэффициентов находят определенные числовые значения, решая полученную систему. Если система совместна, но имеет бесчисленное множество значений, то часть коэффициентов остается неопределенными, а другие выражаются через них. Если же система уравнений несовместна, то найти значения неопределенных коэффициентов невозможно.

Метод неопределенных коэффициентов широко применяется при выполнении алгебраических действий над многочленами, и, в частности при тождественных преобразованиях многочленов. При этом уравнения для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена получают,

приравнивая соответствующие коэффициенты данного многочлена и тождественного ему преобразованного многочлена с неопределенными коэффициентами, поскольку эти коэффициенты должны быть равны, или приравнивая значения данного и преобразованного многочленов при некоторых значениях переменных, входящих в них.

Примеры.

1. Записать в канонической форме произведение

Решение. Произведение есть многочлен четвертой степени. Положим,

Так как коэффициент старшего члена произведения равен 1, а свободный член его равен 120, то и, значит,

Для определения положим

Тогда получим:

т. е.

Отсюда

Следовательно,

2. Найти частное и остаток от деления на

Решение. Так как старший коэффициент частного равен 1, то пусть а остаток

Тогда

или

Отсюда

и, значит,

Следовательно,

3. Найти многочлен первой степени от переменных х и у, который при равен 1, при равен 3, при равен 2.

Решение. Пусть

Для определения положим

Тогда получим:

откуда

Таким образом,