Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

§ 1. Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравнений

Уравнение называют элементарным трансцендентным или просто трансцендентным, если левая часть его есть элементарная трансцендентная функция.

Трансцендентное уравнение может иметь одно, несколько и даже бесчисленное множество решений, оно также может не иметь ни одного решения. Общих элементарных методов решения трансцендентных уравнений не существует. Больше того, элементарными средствами можно решить трансцендентные уравнения лишь в сравнительно редких случаях.

В элементарной алгебре рассматривают трансцендентные уравнения лишь отдельных видов: так называемые показательные и логарифмические уравнения и уравнения, приводящиеся к показательным и логарифмическим. Уравнение будем называть показательным, если являются показательными или элементарными алгебраическими от показательных функций. Это уравнение мы будем называть логарифмическим, если

есть логарифмические или элементарные алгебраические от логарифмических функции. Иначе говоря, под показательными уравнениями мы будем подразумевать уравнения, в которые неизвестные входят только в показателях степеней, а под логарифмическими — уравнения, в которые неизвестные входят только под знаком логарифма.

Так, например, уравнение показательное, а уравнение логарифмическое. Уравнение же мы не будем считать показательным; аналогично уравнет ние не будем считать логарифмическим.

Так как в поле действительных чисел степени отрицательных чисел с иррациональными показателями и с некоторыми рациональными показателями не определены, то показательная функция над полем действительных чисел рассматривается только при а логарифмическая функция рассматривается лишь при положительном, отличном от 1 основании. Поэтому всюду дальше основание логарифмов будем считать положительным числом, отличным от 1; показательные и логарифмические уравнения будем рассматривать только те, в которые показательные и логарифмические функции входят с положительным основанием, отличным от 1. Кроме того, так как отрицательные числа и нуль в поле действительных чисел не имеют логарифмов, то допустимыми значениями (системами значений) неизвестных, входящих в логарифмические уравнения, будем считать такие их значения (системы), при которых выражения, стоящие под знаком логарифма, положительны.

В практике решения показательных и логарифмических уравнений приходится выполнять различные преобразования, которые основываются на некоторых тождествах. Рассмотрим основные из них.

1. В области положительных действительных чисел имеет место тождество

Действительно, для всякого по определению логарифма, Отсюда

С другой стороны, при любых положительных значениях

Следовательно,

и, значит,

ибо при данном основании а значения показательной функции могут быть равными только тогда, когда показатели степеней, в которые возводится основание, равны.

2. В области положительных действительных чисел имеет место тождество

В самом деле, для всякого по определению логарифма, Отсюда

С другой стороны,

Следовательно,

и, значит,

3. В области положительных действительных чисел имеет место тождество

Так как для всякого по определению логарифма, то

С другой стороны,

Следовательно,

и, значит,

4. В области положительных действительных чисел имеет место тождество

Действительно, для всякого по определению логарифма,

Отсюда

Но в силу предыдущего равенства

Отсюда

так что

Положив в этом тождестве получим:

Множитель называют модулем перехода от логарифмов с основанием а к логарифмам с основанием

Так как нуль и отрицательные числа в поле действительных чисел не имеют логарифмов, то при значениях неизвестных, меньших или равных 0, равенства (1) — (4) не выполняются.

5. При всяком положительном а в поле действительных чисел имеет место тождество

В самом деле, по определению логарифма, Поэтому при любом действительном имеет место равенство

С другой стороны,

Следовательно,

Откуда

При решении показательных и логарифмических уравнений алгебраическим способом заданное уравнение приходится заменять уравнением, равносильным ему или выводимым из него, пути решения которого известны. Докажем некоторые теоремы, на которых чаще всего основывается такая замена.

Теорема 1. Если и с суть отличные от 1 положительные числа, то уравнение

равносильно уравнению

Доказательство. Если система значений неизвестных является решением уравнения (6), то

и

Но из равенства двух положительных чисел вытекает и равенство их логарифмов. Поэтому

и, значит,

Следовательно, система значений удовлетворяет уравнению (7). Таким образом,

всякое решение уравнения является решением уравнения (7),

Наоборот, всякое решение уравнения (7) удовлетворяет уравнению (6). Действительно, если есть решение уравнения (7), т. е.

то

так как при данном основании с и равных показателях степени значения показательной функции равны. Из последнего равенства вытекает, что

т. е.

и, значит, есть решение уравнения (6).

Частным случаем доказанной теоремы является утверждение:

если а — отлитое от 1 положительное число, то уравнение

равносильно уравнению

Этот частный случай вытекает из теоремы 1 при

Примечание. Теорема 1 верна и тогда, когда с 1. В этом случае уравнения (6) и (7) будут удовлетворяться тождественно. При утверждение, являющееся частным случаем теоремы 1, неверно.

Теорема 2. Если а — отличное от 1 положительное число, то уравнение

равносильно смешанной системе

Доказательство. Всякое решение уравнения (8) является решением и системы (9). Действительно, если

то

откуда

Следовательно, система чисел является решением смешанной системы (9). Наоборот, если некоторая система значений неизвестных является решением смешанной системы (9), т. е. если

так как при положительном, отличном от 1, основании а логарифмы равных положительных чисел равны. Следовательно, всякое решение смешанной системы (9) удовлетворяет уравнению (8). Этим теорема доказана.

Так как смешанная система (9) равносильна смешанной системе

то из доказанной теоремы вытекает, что уравнение (8) равносильно и смешанной системе (10).

Теорема 3. Если а — отличное от 1 положительное число, то уравнение

равносильно смешанной системе

Доказательство. Всякое решение уравнения (11) является решением системы (12). Действительно, если система значений неизвестных является решением уравнения (11), то

и

Отсюда

Поэтому

Следовательно, система значений является решением системы (12). Наоборот, всякое решение смешанной системы (12) удовлетворяет уравнению (11). Действительно, если система чисел есть решение системы (12), то

(кликните для просмотра скана)

и, значит, система чисел является решением смешанной системы (14).

Наоборот, если система чисел является решением системы (14), т. е.

и, значит, система чисел является решением уравнения (13).