Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава X. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ§ 1. Теоретические основы решения показательных и логарифмических уравненийУравнение Трансцендентное уравнение может иметь одно, несколько и даже бесчисленное множество решений, оно также может не иметь ни одного решения. Общих элементарных методов решения трансцендентных уравнений не существует. Больше того, элементарными средствами можно решить трансцендентные уравнения лишь в сравнительно редких случаях. В элементарной алгебре рассматривают трансцендентные уравнения лишь отдельных видов: так называемые показательные и логарифмические уравнения и уравнения, приводящиеся к показательным и логарифмическим. Уравнение
есть логарифмические или элементарные алгебраические от логарифмических функции. Иначе говоря, под показательными уравнениями мы будем подразумевать уравнения, в которые неизвестные входят только в показателях степеней, а под логарифмическими — уравнения, в которые неизвестные входят только под знаком логарифма. Так, например, уравнение Так как в поле действительных чисел степени отрицательных чисел с иррациональными показателями и с некоторыми рациональными показателями не определены, то показательная функция В практике решения показательных и логарифмических уравнений приходится выполнять различные преобразования, которые основываются на некоторых тождествах. Рассмотрим основные из них. 1. В области положительных действительных чисел имеет место тождество
Действительно, для всякого
С другой стороны, при любых положительных значениях
Следовательно,
и, значит,
ибо при данном основании а значения показательной функции могут быть равными только тогда, когда показатели степеней, в которые возводится основание, равны. 2. В области положительных действительных чисел имеет место тождество
В самом деле, для всякого
С другой стороны,
Следовательно,
и, значит,
3. В области положительных действительных чисел имеет место тождество
Так как для всякого
С другой стороны,
Следовательно,
и, значит,
4. В области положительных действительных чисел имеет место тождество
Действительно, для всякого
Отсюда
Но в силу предыдущего равенства
Отсюда
так что
Положив в этом тождестве
Множитель Так как нуль и отрицательные числа в поле действительных чисел не имеют логарифмов, то при значениях неизвестных, меньших или равных 0, равенства (1) — (4) не выполняются. 5. При всяком положительном а в поле действительных чисел имеет место тождество
В самом деле, по определению логарифма,
С другой стороны,
Следовательно,
Откуда
При решении показательных и логарифмических уравнений алгебраическим способом заданное уравнение приходится заменять уравнением, равносильным ему или выводимым из него, пути решения которого известны. Докажем некоторые теоремы, на которых чаще всего основывается такая замена. Теорема 1. Если
равносильно уравнению
Доказательство. Если система значений неизвестных
и
Но из равенства двух положительных чисел вытекает и равенство их логарифмов. Поэтому
и, значит,
Следовательно, система значений всякое решение уравнения Наоборот, всякое решение уравнения (7) удовлетворяет уравнению (6). Действительно, если
то
так как при данном основании с и равных показателях степени значения показательной функции равны. Из последнего равенства вытекает, что
т. е.
и, значит, Частным случаем доказанной теоремы является утверждение: если а — отлитое от 1 положительное число, то уравнение
равносильно уравнению
Этот частный случай вытекает из теоремы 1 при Примечание. Теорема 1 верна и тогда, когда Теорема 2. Если а — отличное от 1 положительное число, то уравнение
равносильно смешанной системе
Доказательство. Всякое решение
то
откуда
Следовательно, система чисел
так как при положительном, отличном от 1, основании а логарифмы равных положительных чисел равны. Следовательно, всякое решение смешанной системы (9) удовлетворяет уравнению (8). Этим теорема доказана. Так как смешанная система (9) равносильна смешанной системе
то из доказанной теоремы вытекает, что уравнение (8) равносильно и смешанной системе (10). Теорема 3. Если а — отличное от 1 положительное число, то уравнение
равносильно смешанной системе
Доказательство. Всякое решение уравнения (11) является решением системы (12). Действительно, если система значений неизвестных
и
Отсюда
Поэтому
Следовательно, система значений (кликните для просмотра скана) и, значит, система чисел Наоборот, если система чисел
и, значит, система чисел
|
1 |
Оглавление
|