15.3. ВЛИЯНИЕ ШУМОВ УСИЛИТЕЛЯ И ТЕПЛОВЫХ ШУМОВ НА ВЕРОЯТНОСТЬ ОШИБОК

15.3.1. Вероятность ошибок при пренебрежимо малом дробовом шуме

В § 15.2 рассматривалась идеализированная ситуация, когда в системе связи имелся только один дробовой шум. Теперь рассмотрим другой крайний случай, когда дробовой шум пренебрежимо мал по сравнению с тепловым шумом и шумом усилителя в приемнике. Обычно полагают, что случайные флуктуации напряжения и тока подчиняются гауссовому распределению. Для его рассмотрения удобнее отнести флуктуации, наблюдающиеся на выходе усилителя, к эквивалентному числу пар носителей заряда, которые следовало бы создать в фотодиоде, чтобы получить тот же самый результат на выходе. В случае теплового шума и шума усилителя эти действительные числа пар носителей заряда имеют гауссово распределение относительно среднего или ожидаемого значения.

Мгновенное напряжение, которое подается на устройство регенерации цифрового сигнала в момент стробирования внутри данного тактового интервала состоит из усиленного и отфильтрованного напряжения сигнала и напряжения шума со среднеквадратичным значением Напряжение сигнала соответствует числу пар носителей заряда, генерируемых оптическим сигналом, принимаемым в течение тактового

интервала, а напряжение шума соответствует эффективным флуктуациям числа среднеквадратическое значение которых примем равным а. Вероятность того, что общее напряжение на выходе в данный тактовый интервал соответствует парам носителей заряда, созданным в фотодиоде, при гауссовом распределении шума определяется выражением

Как и ранее, предполагаем, что число генерируемых пар носителей равно среднему числу при приеме 1 и нулю при приеме 0. Для упрощения анализа предполагается, что в обоих случаях шум одинаков и уровень порога устанавливается на половине, т. е. что соответствует парам носителей заряда. Рисунок 15.7 иллюстрирует эту ситуацию. Как и раньше, определим отношение сигнал-шум К как отношение пикового значения сигнала при приеме 1 к среднеквадратическому значению шума, т. е.

Вероятность ошибок

Нужно подставить гауссово распределение (15.3.1) в (15.3.3). При легче произвести вычисление, поскольку суммирование можно заменить интегрированием:

В силу симметрии два интеграла равны между собой, поэтому можно написать

В результате получаем

Рис. 15.7. Диаграмма, иллюстрирующая распределение вероятности напряжения в точке принятия решения

Здесь функция дополнительная функция ошибок:

значения которой табулированы. Ее график приведен на рис. 15.8. Из графика следует, что для обеспечения необходимо иметь отношение сигнал-шум . В этой области значений К кривая идет очень круто и поэтому абсурдно думать о разработке системы связи, обеспечивающей конкретное значение вероятности ошибок. Можно лишь определить отношение сигнал-шум, необходимое для удовлетворения технических требований к допустимой вероятности ошибок в теоретической системе. Для этого добавляется любой запас по сигналу, необходимый для компенсации известных отклонений от теоретических предположений, таких как расширение импульса, и резервный запас для обеспечения надежности. Именно на этой основе в § 14.6 было предложено использовать отношение сигнал-шум вместо предписываемого теорией значения Разница между ними представляла просто резервный запас системы связи.

Теперь сравним чувствительность оптического приемника, в котором преобладает шум усилителя, с идеальным квантовым пределом детектирования, рассмотренным в § 15.2. Для упрощения сравнения предположим, что усилитель приемника имеет высокое входное

сопротивление или, в случае трансимпедансного усилителя с обратной связью, высокие входное сопротивление и сопротивление обратной связи. Тогда слагаемые шума а и в (14.4.10) или (14.5.14) будут пренебрежимо малы по сравнению со слагаемым в.

Требуемая ширина полосы пропускания принимается равной половине скорости передачи данных, т. е. Преобразовав выражения, получим формулу для минимального тока необходимого для получения заданного отношения сигнал-шум К.

В свою очередь этот ток связан через чувствительность фотодетектора Я с требуемой минимальной мощностью на входе приемника, которая зависит от длины волны и квантовой эффективности [см. (12.6.2)].

Если в среднем передается одинаковое число 0 и 1, средний ток и средняя принимаемая мощность будут равны половине этих величин, т. е. Тогда выражение (15.3.8) преобразуется к виду

На рис. 15.9 приведена зависимость тока от скорости передачи информации В при соответствующем теоретическому пределу, и что равносильно использованию p-i-n-фотодиода. Взяты те же значения шумовых параметров для кремниевого биполярного транзистора и кремниевого полевого транзистора, что и в гл. 14, т. е. Гц, а Гц и Гц. Чтобы показать важное значение входной емкости усилителя при высоких скоростях передачи данных, в расчетах были использованы два ее значения — Из рисунка видно, что применение полевого транзистора имеет явные преимущества при скоростях передачи данных менее Для каждого типа транзистора при низких скоростях передачи данных минимально необходимый ток изменяется пропорционально В таком случае он зависит от Другими словами, его следует увеличить выше указанных уровней, если входное сопротивление (или параллельное соединение будет слишком мало. При высоких скоростях передачи данных в каждом случае

Рис. 15.8. График кривой

Рис. 15.9. Зависимость минимального среднего тока фотодетектора, небходимого для обеспечения вероятности ошибок менее от скорости передачи данных. Сплошные линии соответствуют приведенным в тексте шумовым параметрам кремниевых биполярного и полевого транзисторов при входных емкостях усилителей, равных штриховые линии характеризуют постоянные значения числа электронов на Соответствующие уровни мощности при указаны, для различных длин воля на левой стороне.

значение изменяется пропорционально . В этом случае опо зависит от

Из рис. 15.9 также видно, что первоначально предложенный эмпирический критерий заключает в себе совершенно разные функциональные зависимости между Оно может быть связано с этим рисунком, если только известна чувствительность фотодетектора. Пусть при значению соответствует минимальный средний ток детектора что равносильно Следовательно, соответствует