2.4. СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКАЯ ДЛИТЕЛЬНОСТЬ ИМПУЛЬСОВ И ПЕРЕДАТОЧНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВОЛОКНА

2.4.4. Среднеквадратическая длительность импульсов

Другой мерой длительности импульса является его среднеквадратическая длительность а, которая особенно ценна при неизвестной форме импульса. (В последующих главах будем пользоваться именно ею). Она определяется следующим образом. Пусть распределение принимаемой мощности описывается временной функцией Тогда полная энергия импульса будет равна

Среднее время прихода импульса при этом составит

и под среднеквадратической длительностью импульса а понимают величину, определяемую соотношением

Аналогично можно по спектральному распределению света, образующему импульс, определить среднеквадратическую ширину его

спектра, непосредственно используя для этого выражения Кроме того, ширину спектра можно определить либо через разброс длин волн, содержащихся в свете, либо на основе разброса угловых частот. Пусть полная мощность, излучаемая данным источником в некоторый момент времени, равна причем

Здесь представляет спектральную плотность мощности в виде функции оптической угловой частоты. Тогда среднее значение оптической угловой частоты будет равно:

а среднеквадратическое значение ширины спектральной линии будет описываться выражением

Аналогично можно определить среднюю длину волны, излучаемую источником X, и выразить среднеквадратическую ширину спектральной линии через длину волны. Это можно сделать следующим образом:

где спектральная плотность мощности как функция длины волны измеряется в а в Далее находим

И, наконец, окончательно получаем

Важно подчеркнуть, что величина характеризует разброс длин волн, а угловых частот.

Предположим теперь, что импульс уширяется под влиянием как межмодовой, так и материальной дисперсий, что оба механизма уширения взаимно независимы и независимо приводят к формированию приблизительно гауссовых импульсов, имеющих среднеквадратические длительности, равные соответственно Оба механизма уширения снова будут объединяться, чтобы сформировать импульс, который останется приблизительно гауссовым по форме и среднеквадратическая длительность а которого будет определяться выражением

Если передаваемый импульс не бесконечно короткий, имеет гауссову форму и среднеквадратическую длительность то среднеквадратическая длительность результирующего импульса будет равна

По сравнению с общей длительностью импульса, обусловленной межмодовой дисперсией, которая была рассмотрена в § 2.1, величина зависит от того, каким образом оптическая мощность распределяется между различными траекториями лучей. Величина может быть найдена с помощью формулы (2.2.41)

где

Установим взаимосвязь между среднеквадратической длительностью импульса о и его длительностью на уровне 0,5, а также другими его параметрами для ряда приведенных на рис. 2.16 гипотетических импульсов, имеющих различные аналитические описания своей формы. Приведенные ниже соотношения получены простым вычислением по формуле (2.4.3) для каждого случая:

а) прямоугольный импульс

б) треугольный импульс

в) пилообразный импульс

г) экспоненциальный импульс

д) гауссов импульс

е) усеченный лоренцевский импульс

где Отметим, что при

Некоторые из этих соотношений будут использованы в дальнейшем. Их доказательство представляется читателю в качестве упражнений.

Рис. 2.16. Среднеквадратнческая длительность импульсов разной формы: а — прямоугольный импульс ; б - треугольный импульс в — пилообразный нмлульс экспоненциальный нмпульс гауссов нмпульс лоренцевский нмпульс