ПРИЛОЖЕНИЕ 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ГРАДИЕНТНОМ ВОЛОКНЕ: ПРИБЛИЖЕНИЕ ВКБ (ВЕНЦЕЛЯ КРАМЕРСА, БРИЛЛЮЭНА)
Производная в волновом уравнении 
из Приложения 1 зависит от предположения об однородности среды и в § 6.1 было показано, что оно остается справедливым, когда 
мало. Пусть это условие выполняется и система обладает осевой симметрией, таким образом, радиальное изменение
поля описывается уравнением 
Если 
в явном виде зависит от радиуса, это уравнение преобразуется к виду
Используя метод приближенного решения уравнения 
предложенный Джефри 
с помощью ряда подстановок можно найти его решения, справедливые в определенных областях. Сначала можно исключить производную 
с помощью подстановки
Тогда уравнение 
становится таким:
Сделаем подстановку
Затем подставим
Следовательно, 
где 
Теперь подставим
Тогда
и
а следовательно,
В первом пнближенни можно взять лишь первый член уравнения 
тогда
Величину второго слагаемого 
теперь можно оценить следующим образом:
Таким образом, можно ограничиться только одним членом 
при условии, что
Взяв лишь первый член, находим
У-ехр 
а, вернувшись, к 
получим
В областях, где К принимает действительные значения, 
мнимые, величина 
изменяется циклически в зависимости от радиальной координаты (экспоненциальная функция с мнимым показателем степени). В области же, где 
становится действительной величиной, 
мнимой, 
монотонно уменьшается с увеличением радиуса. Эти два решения должны быть согласованы между собой, что ограничивает допустимые значения 
определенными собственными значениями Описанный метод приближенного решения волнового уравнения многим хорошо известен благодаря широкому использованию в квантовой механике при решении волнового уравнения Шредингера. Обычно его называют приближением ВКБ. Решения 
неприменимы для точек, находящихся на оси, хотя этот метод можно легко приспособить для полуення корректных решений и при 
Из условия 
очевидно, что рассматриваемое приближение неправомочно, если производная 
велика и если 
мало. Это означает, что с переходными областями в окрестности 
на рис. 6.2, где 
нельзя обращаться просто, и приходится прибегать к специальным способам для точного определения условий согласования решений на границе.
