5.4. ВРЕМЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ В СТУПЕНЧАТЫХ ВОЛОКНАХ

Представленные на рис. 5.6 и 5.7 зависимости дают возможность увидеть различные причины, вызывающие расширение оптического импульса при его передаче по волокну. В § 2.2.3 было установлено, что время распространения оптического сигнала при прохождении пути длиной I равно

В таком случае для любой моды оптический импульс, ширина спектра которого на уровне половинной мощности равна расширяется до импульса, длительность которого на полувысоте равна причем

Отсюда видно, что волноводная дисперсия, связанная с любой конкретной модой, определяется значением второй производной характеристики распространения этой моды на интересующей нас частоте. Следовательно, она отображается кривизной модовых характеристик, изображенных на рис. 5.6. Из рис. 5.7 следует, что материальная дисперсия, возникающая, когда показатель преломления зависит от частоты, оказывает разрушающее воздействие на систему координат графика зависимости от со в интересующей нас области и тем самым видоизменяет характеристики распространения всех мод в этой области. В действительности обычно материальная дисперсия преобладает над волноводной. Большее значение, чем любой из этих двух эффектов, имеет в многомодовом ступенчатом волокне эффект, являющийся результатом изменения величины для различных мод распространяющихся в волокне на данной частоте. Выше он был назван межмодовой дисперсией.

Алгебраическое описание этих трех эффектов и их взаимосвязи достаточно сложно, однако может быть существенно упрощено для случая слабо направляющих волокон путем введения параметра А, который характеризует относительное изменение показателя преломления на границе сердцевина — оболочка

Для слабо направляющих волокон, у которых имеем

Преобразовав выражение (5.3.8), можно выразить постоянную распространения моды порядка через безразмерный параметр в таком виде:

где мы сохранили только первый член биноминального разложения, имея в виду малость А. В рамках этого приближения время распространения моды порядка на расстояние I определяется формулой

В формуле (5.4.5) опущены индексы которые тем не менее подразумеваются, и вновь введен индекс группы равный

Можно сразу увидеть, что время передачи оптического сигнала, а следовательно, и полная дисперсия будет зависеть от трех параметров: дисперсии материала оболочки разницы дисперсий материалов оболочки и сердцевины и волноводной дисперсии Поскольку постоянная волноводного распространения ранее была выражена через нормализованную частоту V, как на рис. 5.10, возьмем производные по V, а не по Тогда

Теперь, воспользовавшись выражением (5.2.16), можно написать

и в результате

Иногда удобно ввести в рассмотрение нормализованный дифференциальный параметр юперсии а именно:

Тогда можно записать

и, подставив это выражение в (5.4.6), получим

Подстановка значения дает

Разумеется, формулу (5.4.12) можно получить непосредственно, сделав подстановку выражения (5.4.8) в последнее слагаемое формулы (5.4.6).

Чтобы найти выражение для расширения импульса обусловленного модой порядка и определяемого формулой (5.4.1), необходимо еще раз сделать дифференцирование. Делая почленное дифференцирование, получаем

Вспомнив, что и отбросив слагаемые, содержащие можно упростить это выражение и привести его к виду, когда члены, описывающие три главных эффекта дисперсии, окажутся разделенными друг с другом

В обычном многомодовом ступенчатом волокне влияние на дисперсию всех трех основных слагаемых в выражении (5.4. 14) мало по сравнению с изменением времен распространения между отдельными модами. Другими словами, преобладает влияние среднего члена в формуле (5.4.12), учитывающего изменения во всем диапазоне мод порядка а именно, Значение производной стремится к единице для всех мод, расположенных достаточно далеко от частоты отсечки, и можно показать, что для мод высших порядков приближается к величине на частоте отсечки. Таким образом, для многомодового волокна, у которого разброс времен запаздывания между отдельными модами в группе описывается следующей приближенной формулой:

При больших V она упрощается до

Представленное выше рассмотрение мод в ступенчатых волокнах потребовало много усилий для получения результатов, которые могут показаться либо тривиальными, либо не относящимися к делу. Это было неплохой иллюстрацией для многомодового ступенчатого волокна,

но полученные результаты можно удовлетворительно объяснить и на основе лучевой модели. Однако описанные здесь методы создают основу для рассмотрения одномодового распространения света в ступенчатом волокне, а также для изучения многомодового распространения света в градиентных волокнах.