10.2.7. Полуэмпирический анализ

Читатель, имеющий небольшую вычислительную машину и достаточно времени, может без особых трудностей обобщить эти результаты и получить зависимость коэффициента усиления от энергии фотона и плотности тока. Однако при этом имеет смысл учесть три обстоятельства, которыми мы пренебрегли:

а) более сложный вид функций плотности состояний который учитывает хвосты зон при высокой концентрации примесей;

б) полная функция распределения Ферми при ненулевых температурах;

в) правила отбора, влияющие на вероятность переходов электронов между энергетическими состояниями в валентной зоне и зоне проводимости.

Некоторые результаты такого анализа приведены на рис. 10.8 и и 10.9 Здесь было бы неуместным заниматься такими фундаментальными вопросами. Заинтересованный читатель может получить более подробную информацию из литературы: часть А [7.1], [10.1] или [10.2].

Из (10.2.25) ясно, что ключевым параметром, определяющим коэффициент усиления, является эффективная плотность тока:

Именно этот параметр представлен на рис. 10.8 и 10.9. Из приведенных на них зависимостей видно, что эффективная плотность тока должна быть достаточно большой для получения положительного значения коэффициента усиления. Величина и положение максимума коэффициента усиления определяют достижение лазерного порога и значение частоты генерации. Выше порога усиление растет почти линейно с

С ростом температуры область положительных коэффициентов усиления распространяется на больший диапазон частот, но максимальная частота при этом снижается. Крутизна зависимости от

(10.2.37) обратно пропорциональна температуре. Это объясняется уширением распределения энергий носителей при повышении температуры. Изменение с температурой примерно соответствует закону Имеются теоретические предпосылки, основанные на упрощенной зонной структуре и показывающие, что пороговый ток растет пропорционально в компенсированном материале и в сильно легированном материале.

При дальнейшем анализе будем считать, что необходимое условие получения инверсной населенности и, следовательно, положительного коэффициента усиления заключается в том, что квазиуровень Ферми материала -типа должен лежать в пределах зоны проводимости, т. е. Обозначим через значение необходимое для удовлетворения такому требованию. Эта величина может быть получена в результате интегрирования распределения электронной концентрации по всей зоне проводимости при условии, что Тогда

где при для определяемой выражением (10.2.1). Чтобы упростить математические преобразования, положим

Тогда интегрирование выражения (8.2.3) дает

Интеграл Ферми (0) имеет значение 0,68.

Рис. 10.8. Теоретическая зависимость коэффициента усиления в -типа от энергии фотона концентрация акцепторов

Рис. 10,9. Теоретическая зависимость максимального коэффициента усиления от при различных температурах. (Расчеты учитывают хвосты зон и уменьшение ширины запрещенной зоны при концентрации акцепторов Стрелками указаны значения параметра при 77 и 297 К, см, (10.2.37).)

Из (10.2.28) и (10.2.29) можно получить, что

В сильно легированном материале можно считать Тогда

и

В компенсированном материале так что

и

Результаты более сложных расчетов, приведенные на рис. 10.9, показывают, что значения при 77 и 297 К соответствуют закону