2.2.3. Временная дисперсия в объемной среде

В оптике слово «дисперсия» обычно связывают с величиной а в оптических системах связи с явлением уширения световых импульсов после их прохождения через дисперсионную среду. Ниже будет показано, что за это уширение ответственна не величина а величина именно эта последняя будет пониматься в данной книге под термином «дисперсия материала».

Любая помеха или сигнал, налагаемые на световую волну, распространяются не с фазовой скоростью волны, равной

а с групповой скоростью определяемой соотношением

Доказательство этого утверждения можно найти в большинстве учебников по распространению электромагнитных волн и, в частности, в [1.2] и [2.1]. Итак, в недисперсионной среде фазовая скорость не зависит от частоты волны, вследствие чего групповая и, фазовая скорости становятся одинаковыми:

Однако в дисперсионной среде, где по определению фазовая скорость зависит от частоты, будут различными:

Это обстоятельство важно, поскольку групповая скорость является скоростью распространения сигнала, с которой постоянно имеют дело в технике связи. Например, световой импульс проходит через дисперсионную среду со скоростью Рассмотрение вопроса распространения светового импульса усложняется тем обстоятельством, что из-за дисперсии он обязательно ослабляется и в некоторой степени искажается в процессе распространения. Тем не менее можно ввести понятие группового показателя преломления

который в дисперсионной среде будет отличаться от обычного или фазового показателя преломления

Будет очевидно, что в § 2.1.2 был использован самый простой подход для выражения межмодовой временной дисперсии с помощью формулы (2.1.17). При использовании лучевой модели, изображенной на рис. 2.2, скорость распространения световых импульсов равна Следовательно, разница времен распространения импульсов вдоль осевого и наиболее наклонного лучей должна быть равна

где групповой показатель преломления сердцевины. Однако формула (2.1.17) остается хорошим приближением для обычных ступенчатых волокон. Вопрос о влиянии дисперсии материала на распространение света в градиентных волокнах требует более тщательного рассмотрения и будет описан в гл. 6.

Как было показано, дисперсионные свойства оптических материалов традиционно характеризуются зависимостью показателя преломления от длины волны в свободном пространстве, т. е. Поэтому необходимо выразить величины через Отметим сначала, что

Далее

а если учесть, что то

Подставляя полученные выражения в (2.2.37), находим

Таким образом,

Тогда время прохождения световым импульсом расстояния I будет равно

Если свет имеет ширину спектра А к относительно к и если среда дисперсионная, то световой импульс расширяется в процессе

распространения и поступает на выход на протяжении интервала времени определяемого соотношением

Обычно ширину спектра источника излучения определяют как диапазон длин волн, в пределах которого излучаемая им мощность превышает 50 % максимального значения. Часто удобно использовать относительную ширину спектра излучения у, равную

Таким образом, после прохождения световым импульсом расстояния I в дисперсионной среде импульс расширяется; причем его длительность на уровне половинной мощности определяется выражением:

Ее можно написать в таком виде:

где

представляет собой коэффициент дисперсии материала. Если аппроксимировать ширину полосы частот, занимаемую сигналом в волокне, величиной то получим

При определении у и был введен знак модуля, поскольку обычно интересует абсолютная величина разброса длин волн или длительность импульса а не то, какая волна прибудет первой — более короткая или более длинная.

Снова подчеркнем, что это длительность импульса на уровне половинной мощности и что выражение является приближением, как и соотношение между шириной полосы частот и общей межмодовой дисперсией вида полученное в § 2.1.2. Эти вопросы будут предметом дальнейшего рассмотрения и анализа, в частности в § 2.4.

На рис. 2.13 представлены зависимости величин от длины волны для объемных образцов из чистого и легированного кварца. Приведенные данные получены на основе графиков, изображенных на рис. 2.12. Необходимо подчеркнуть, что эти данные не могут быть непосредственно перенесены на материал аналогичного

состава, использованный для вытягивания волокна. Из приведенных кривых следует, что на длине волны 0,85 мкм (типичное значение для источников излучения из арсенида галлия) легирование кварца германием приводит к увеличению как показателя преломления, так и дисперсии материала, легирование бором уменьшает показатель преломления и дисперсию, а легирование фосфорным ангидридом увеличивает но оказывает малое влияние на дисперсию.

Для чистого кварца на длине волны . Следовательно, . В гл. 8 будет показано, что типичное значение ширины спектра излучения светодиодов из GaAs составляет 30 нм при средней длине волны излучения Таким образом, и скорость, с которой будет происходить расширение светового импульса при распространении в чистом кварце, равна

а произведение ширины полосы пропускания на расстояние составит Лазерные источники излучают в пределах очень узкой спектральной полосы порядка следовательно, для них Для лазерного излучения, распространяющегося в кварце, . Эти значения следует сравнить со значениями приведенной ранее величины характеризующей межмодовую дисперсию, а именно: для волокна со скачком показателя преломления и для волокна без оболочки, которые, будучи выраженными через полосу пропускания, становятся соответственно равными 15 и 0,2 МГц-км.

Рис. 2.13. Зависимости дисперсионного параметра и материальной дисперсии от длины волны: Обе зависимости для чистого и легированного кварца построены по данным, приведенным на рис 2.12 для объемных образцов. Буквы указывают на состав стекол, приведенный в подрисуночной подписи рис. 2.12

Как видно из рис. 2.13, кривая для чистого кварца изменяет знак на длине волны Это значение соответствует точке перегиба кривой В литературе часто указывают на него, как на «длину волны нулевой дисперсии материала». С практической точки зрения такое определение вводит в заблуждение, поскольку реальный световой импульс содержит в себе спектр длин волн, которые распространяются с групповыми скоростями, лежащими в некотором интервале, даже если самая короткая и самая длинная волны распространяются с одинаковыми скоростями. Эта ситуация проиллюстрирована на рис. 2.14, а. Лежит ли кривая выше или ниже нуля, не имеет никакого значения для вопроса о расширении импульса.

Дисперсия материала минимальна для источников, которые излучают на длинах волн, близких к Такие источники обеспечили бы максимальную пропускную способность волокна, используемого в настоящее время. Несомненно важно знать, что этот предел существует и является причиной, по которой мы будем использовать точные выражения для временной дисперсии в области минимума дисперсии материала.

Спектральная кривая источника, излучающего в диапазоне длин волн относительно центральной длины волны содержит т. е.

и можно определить уширение импульса путем разложения времени распространения импульса в ряд Тейлора в окрестности Ранее определили

Пусть

В таком случае

Далее можно записать

и

Следовательно,

Здесь обозначает минимальное время прохождения, а величина характеризует разброс времени прохождения если его оценивать значением к, которое соответствует большей из величин и

Рис. 2.14. Область минимального разброса времени распространения света в волокне: а —

Нормализованное время распространения света равно С другой стороны, следовательно, имеется минимальное значение на длине волны Разложение в ряд Тейлора в окрестности имеет вид где а первый член ряда обращается в нуль. В формуле (2.2.49) третьим и четвертым членами пренебрегли

Имеют место два случая:

1. , как показано на рис. 2.14, б, тогда

2. , как изображено на рис. 2.14, в, тогда

Неучтенные члены разложения более высокого порядка становятся значительными, если ширина спектра источника излучения приближается к

При дисперсия в объеме материала становится минимальной и равной

Для чистого кварца на длине волны

Следовательно,

Рассмотрим имеющиеся светодиоды, излучение которых центрировано относительно Они имеют Это подразумевает разброс длин волн порядка относительно а также При использовании лазерного источника излучения значения приведенных величин были бы на два порядка лучше. В любом случае дисперсионный параметр становится очень малым, и это вынуждает разрабатывать источники излучения и фотоприемники для работы в данной области спектра.

По поводу рис. 2.13 можно также сделать два следующих замечания. Первое — величина остается весьма малой на длинах волн в окрестности Например, для чистого кварца на длине волны лежащей, как будет показано в § 2.5, в области минимума потерь, обеспечивая В таком случае при использовании источника излучения с получаем тогда как будем иметь Второе замечание состоит в том, что величину можно изменять, вводя различные примеси. Как видно из рис. 2.13, введение бора может сделать ее менее а легирование германием позволяет поднять ее до