6.3. МЕЖМОДОВАЯ ДИСПЕРСИЯ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛОКНАХ

6.3.1. Межмодовая дисперсия без учета материальной дисперсии

В рамках лучевой модели дисперсия определяется изменением длин оптических путей лучей, распространяющихся по различным траекториям. При использовании модели волновых световодных мод она характеризуется диапазоном значений величины для различных

разрешенных мод. Обе эти модели эквивалентны в пределах приближений, которые были сделаны для градиентных волокон, и приводят к одинаковым результатам. В данном параграфе проблема дисперсии будет рассмотрена с точки зрения волновой модели. Начнем рассмотрение с анализа выражения (6.1.40) для постоянной распространения группы мод, имеющих индекс модовой группы Постараемся найти формулы для дисперсии в волокнах с -профилем и, следовательно, получить значения а, которые будут минимизировать дисперсию. Предположим, что все моды испытывают одинаковое затухание. В таком случае

где

и

Упростим это выражение следующим образом. Представим в таком виде:

где

Световой импульс, имеющий угловую частоту о, будучи введен в волокно в виде мод группы проходит расстояние I вдоль оси волокна за время определяемое формулой

Рассмотрим сначала гипотетический случай, когда волокно изготовлено из материала, не обладающего материальной дисперсией, т. е. ни ни А не зависят от частоты. Поэтому можно записать

где параметр, не зависящий от частоты. Дифференцирование выражения (6.3.1) по (о приводит к

Дифференцируя (6.3.4), получаем

откуда

и, наконец

Крайние модовые группы характеризуются (т. е. время распространения определяется формулами

и

Эти модовые группы содержат моды с самыми быстрыми и самыми медленными скоростями распространения, за исключением случая волокон, у которых значение а лежит в области 2. В таком случае модовая дисперсия представляет собой просто разность между В первом приближении она будет равна

При модовые группы более высоких порядков распространяются медленнее, чем группы низких порядков и волокно оказывается недокомпенсированным по отношению к дисперсии. Если же справедлива обратная картина и волокно становится перекомпенсированным. В действительности минимум дисперсии имеет место при значении а несколько меньше 2, когда имеют одинаковое значение, а промежуточные модовые группы распространяются более быстро. Этот эффект иллюстрирует рис. 6.4. Таким образом, условие минимума дисперсии имеет вид

На основании этого можно написать

Подставив найденные значения а в формулы (6.3.11) и (6.3.7), получим

Разумеется, полученная разность во времени распространения моды самого низкого порядка модовой группы будет равна нулю при и будет достигать максимума при когда

Нахождение оптимальных значений а позволяет таким образом оказывать значительное влияние на модовую дисперсию в градиентном волокне. Сравнение полученного выражения с (2.1.8) показывает, что дисперсия в градиентном волокне уменьшается до части дисперсии ступенчатого волокна, имеющего одинаковые значения Рассмотрим волокно, у которого . В случае ступенчатого волокна дисперсия приблизительно будет равна

Рис. 6.4. Зависимость времени распространения от номера модовой группы для перекомпенсированного и недокомпенснрованного волокна с -профилем

Рис. 6.5. Зависимость межмодовой дисперсии от параметра профиля показателя преломления а в пренебрежении материальной дисперсией (кривая построена для волокиа, имеющего )

. В случае же градиентного волокна с -профилем, имеющего те же значения при модовая дисперсия составила бы всего При этом произведение полосы пропускания на расстояние было бы равно около увеличилось бы почти на три порядка. На рис. 6.5 приведена кривая теоретической зависимости межмодовой дисперсии от а для градиентного волокна, которая позволяет высказать следующие два соображения: 1) чтобы получить минимум дисперсии, необходимо очень тщательно управлять значением а; 2) всякое изменение показателя преломления, которое приближает профиль волокна к параболическому, приводит к существенному уменьшению межмодовой дисперсии в нем.