ПРИЛОЖЕНИЕ 3. ТРАЕКТОРИИ ЛУЧЕЙ В ГРАДИЕНТНОМ ВОЛОКНЕ

П.3.1. ПОЛУЧЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТРАЕКТОРИИ ЛУЧА

Начнем с общего уравнения, описывающего распространение луча в неоднородной среде:

где вектор положения луча, расстояние, измеренное вдоль его траектории, показатель преломления среды. В нашем случае осесимметричная функция, поэтому выберем ось цилиндрической системы координат совпадающей с осью симметрии благодаря чему будет зависеть только от Расстояние по оси обозначим через а азимутальную координату — через

Определим единичные векторы в каждом из трех направлений координат в любой точке на траектории луча. В таком случае

откуда следует

Далее, как это видно из рис. ПЗ. 1, справедливы следующие соотношения:

и

Следовательно,

Рис. П3.1. Единичные векторы в точке

Рисунок показывает, что между единичными векторами имеют место соотношения тина дифференциала

Единичный вектор в направлении оси не зависит от положения, и потому

Перепишем теперь исходное уравнение

и сделаем подстановку, приняв во внимание, что и обращаются в нуль

Осуществив почленное дифференцирование уравнения получим

Исходя из этого и используя соотношения окончательно находим

Группируя выражения, содержащиеся при и приравнивая каждую из групп по отдельности правой части, получаем:

Из уравнения следует, что величина постоянная, определяемая положением и направлением луча в точке входа в волокно. Согласно рис. 6.3, а направление и положение луча в этой точке определяются координатами То) и соответственно. Таким образом,

и

где так называемый «энергетический» параметр луча.

(кликните для просмотра скана)

Уравнение легко проинтегрировать, если разложить второе слагаемое и умножить на Это приводит к следующему соотношению:

Таким образом, величина также постоянная, значение которой зависит только от того, каким образом луч входит в волокно. Следовательно,

где, как показано на рис.

Параметр иногда называют угловым моментом луча.

(см. скан)

На основании можно получить дифференциальное уравнение для следующим образом. Заметим, что если воспользоваться выражениями то соответственно

и

Следовательно, уравнение преобразуется к виду

т. е.

Однако имеет место соотношение

Поэтому, подставив и поделив на окончательно получим

П3.2. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТРАЕКТОРИИ ЛУЧА

Уравнения определяют траектории каждого луча, входящего в градиентное волокно. Чтобы получить выражения в более явной форме, умножим сначала все члены уравнения на

Непосредственное интегрирование полученного дифференциального уравнения дает

Значение постоянной интегрирования определяем из начальных условий:

Подстановка выражений дает

поскольку

Таким образом, получаем

Пусть есть корни уравнения

Эти корни являются функциями профиля показателя преломления и исходной траектории луча, что выражается параметрами (рис. Если оба корня действительные, радиусы соответствуют точкам изгиба траектории, в которых и относительно которых траектория луча симметрична. Поэтому положение луча по радиусу имеет периодическую зависимость от как это показано на рис. П3.4. Расстояние вдоль оси волокна равное пространственному периоду,

Здесь было использовано выражение

Рис. ПЗ.З. Графики функций образующих область, ограниченную для случая, когда уравнение имеет действительные корни. Очевидно соответствие рис. 6.2, а

Рис. П3.4. Периодическая зависимость радиального положения луча от расстояния вдоль оси

Из рис. ПЗ.З видно, что условие для полностью канализируемых волокном лучей имеет вид

и что

Таким образом, максимальное значение I будет при минимальном т. е. когда причем оно зависит от

Для ступенчатого волокна

Изменение положения луча но азимуту определяется уравнением

При луч называется мерадиальным. Если (наклонный луч), производная всегда положительна, но периодически изменяется по величине между В результате этого на линейно возрастающую зависимость от накладывается периодическое изменение, обусловленное периодической зависимостью от Вследствие этого становится квазипериодической функцией, изображенной на рис. т. е.

где

Рис. П3.5. Зависимость азимутального положения траектории луча от расстояния вдоль оси

П3.3. МНОГОЛУЧЕВАЯ ДИСПЕРСИЯ

Многолучевая дисперсия обусловливается изменением в области возможных значений Приведенные в § 6.3 профили показателей преломления волокна, которые были использованы при модовом анализе для минимизации межмодовой дисперсии, могут быть применены и при соответствующем лучевом анализе, чтобы минимизировать многолучевую дисперсию. Оба эти подхода эквивалентны.

П3.4. ЛУЧИ УТЕЧКИ

Воспользовавшись и условие полной канализируемости лучей в волокне можно выразить следующим образом:

Данное выражение есть не что иное, как закон Снелля, и для ступенчатых волокон оно эквивалентно (2.1.5). Лучи утечки - это обязательно наклонные лучи, которые не удовлетворяют условию а удовлетворяют условию

В этом можио убедиться, сравнив рис. ПЗ.З с рис. 6.2 и 6.9, Условие зависит от положения и направления падающего луча следующим образом:

Здесь вновь была сделана подстановка значений с помощью формул Чтобы упростить это выражение, можно взять в качестве образца те лучи, которые входят в волокно вдоль радиуса и принять Тогда лучами утечки станут те, для которых выполняется условие

причем

Для ступенчатых волокон оно преобразуется к виду

а при