Определим единичные векторы
в каждом из трех направлений координат в любой точке
на траектории луча. В таком случае
откуда следует
Далее, как это видно из рис. ПЗ. 1, справедливы следующие соотношения:
и
Следовательно,
Рис. П3.1. Единичные векторы в точке
Рисунок показывает, что между единичными векторами
имеют место соотношения тина дифференциала
Единичный вектор в направлении оси
не зависит от положения, и потому
Перепишем теперь исходное уравнение
и сделаем подстановку, приняв во внимание, что
и
обращаются в нуль
Осуществив почленное дифференцирование уравнения
получим
Исходя из этого и используя соотношения
окончательно находим
Группируя выражения, содержащиеся при
и приравнивая каждую из групп по отдельности правой части, получаем:
Из уравнения
следует, что
величина постоянная, определяемая положением и направлением луча в точке входа в волокно. Согласно рис. 6.3, а направление и положение луча в этой точке определяются координатами
То) и
соответственно. Таким образом,
и
где
так называемый «энергетический» параметр луча.

(кликните для просмотра скана)
Уравнение
легко проинтегрировать, если разложить второе слагаемое и умножить на
Это приводит к следующему соотношению:
Таким образом, величина
также постоянная, значение которой зависит только от того, каким образом луч входит в волокно. Следовательно,
где, как показано на рис.
Параметр
иногда называют угловым моментом луча.
(см. скан)
На основании
можно получить дифференциальное уравнение для
следующим образом. Заметим, что если воспользоваться выражениями
то соответственно
и
Следовательно, уравнение
преобразуется к виду
т. е.
Однако имеет место соотношение
Поэтому, подставив
и поделив на
окончательно получим
П3.2. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТРАЕКТОРИИ ЛУЧА
Уравнения
определяют траектории каждого луча, входящего в градиентное волокно. Чтобы получить выражения в более явной форме, умножим сначала все члены уравнения
на
Непосредственное интегрирование полученного дифференциального уравнения дает
Значение постоянной интегрирования
определяем из начальных условий:
Подстановка выражений
дает
П3.3. МНОГОЛУЧЕВАЯ ДИСПЕРСИЯ
Многолучевая дисперсия обусловливается изменением
в области возможных значений
Приведенные в § 6.3 профили показателей преломления волокна, которые были использованы при модовом анализе для минимизации межмодовой дисперсии, могут быть применены и при соответствующем лучевом анализе, чтобы минимизировать многолучевую дисперсию. Оба эти подхода эквивалентны.
П3.4. ЛУЧИ УТЕЧКИ
Воспользовавшись
и
условие полной канализируемости лучей в волокне можно выразить следующим образом:
Данное выражение есть не что иное, как закон Снелля, и для ступенчатых волокон оно эквивалентно (2.1.5). Лучи утечки - это обязательно наклонные лучи, которые не удовлетворяют условию
а удовлетворяют условию
В этом можио убедиться, сравнив рис. ПЗ.З с рис. 6.2 и 6.9, Условие
зависит от положения и направления падающего луча следующим образом:
Здесь вновь была сделана подстановка значений
с помощью формул
Чтобы упростить это выражение, можно взять в качестве образца те лучи, которые входят в волокно вдоль радиуса
и принять
Тогда лучами утечки станут те, для которых выполняется условие
причем
Для ступенчатых волокон оно преобразуется к виду
а при