5.2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛНОВОДНЫХ МОД В ИДЕАЛЬНОМ СТУПЕНЧАТОМ ВОЛОКНЕ

Здесь будем рассматривать волокно, состоящее из однородной сердцевины радиусом а из материала с показателем преломления и бесконечно толстой оболочки из материала с показателем преломления

Решения уравнений (5.1.1) должны удовлетворять только разрыву функции в точке а и принимают вид хорошо известных функций, а именно, функций Бесселя в области сердцевины и функций Ганкеля в пределах оболочки Аксиальные составляющие поля в оболочке определяются выражением

где — постоянное электрическое или магнитное поле; целое число; и — параметр, связанный с еще не определенной нами постоянной распространения § световодной волны следующим соотношением:

Отметим, что

— постоянная распространения плоских поперечных электромагнитных волн (ТЕМ) в материале сердцевины волокна.

Осевые составляющие поля в оболочке определяются формулой

где постоянное электрическое или магнитное поле; целое число; параметр, связанный с соотношением

Здесь

— постоянная распространения для плоских поперечных электромагнитных волн (ТЕМ) в материале оболочки. При больших значениях таких, что при

Это означает, что поля в оболочке затухают экспоненциально на больших радиальных расстояниях от сердцевины. Это те самые поля, которые раньше мы называли затухающей волной.

До сих пор рассматривались решения только для аксиальных составляющих Поперечные составляющие могут быть найдены с помощью следующих соотношений:

где

Картины распределения электромагнитного поля для различных мод имеют некоторое сходство с теми, которые получаются в круглых металлических волноводах, имея в виду менее резкие граничные условия на поверхности сердцевина — оболочка. В то время как на границе металл — воздух электрическое поле, параллельное ее поверхности, должно быть пренебрежимо мало (обе составляющие обращаются в нуль), в волокне радиальные поля испытывают лишь небольшой разрыв на поверхности, разделяющей сердцевину и оболочку, причем тангенциальные составляющие поля должны быть здесь непрерывны. Требование удовлетворить этим граничным условиям означает, что для каждого значения в выражениях (5.2.1) и (5.2.3) существует только определенный дискретный набор значений и Обозначим из Как и индекс означает целое число. Отсюда следует, что и постоянная распространения также принимает лишь дискретные значения, определяемые выражением

Рассмотрим сначала решения уравнений (5.2.1) и (5.2.3) при Они имеют вид: в сердцевине

в оболочке

Эти решения представляют собой моды, в которых картины распределения поля имеют радиальную симметрию. Можно полагать, что в рамках лучевой модели каждая из этих мод соответствует ряду меридиональных лучей, имеющих предписанный угол, наклона к оси волокна. Как и в случае круглого металлического волновода, в данном случае имеются два набора (множества) решений. В первом изних составляющая равна нулю и такие моды называются поперечными магнитными а во втором обращается в нуль составляющая и такие моды называются поперечными электрическими На рис. 5.1 приведены картины поперечного электрического поля в сердцевине волокна для двух мод, соответствующих Распределения осевых и поперечных составляющих как для электрических, так и магнитных полей, связанных с модой изображены на рис. 5.2, а.

Теперь можно понять значение второго параметра моды Функция Бесселя описывающая распределение амплитуд поля в. сердцевине, является осциллирующей функцией. Ее график приведен на рис. 5.3. С другой стороны, модифицированная функция Ганкеля, описывающая поля в оболочке, есть монотонно убывающая функция. Для моды с параметрами значение параметра должно быть таким, чтобы на поверхности сердцевина — оболочка оно находилось в области второго полупериода функции Для моды при она должна попасть в третий

Рис. 5.1. Картины векторов поперечного электрического поля в поперечном сечении сердцевины ступенчатого волокна для четырех мод самых низких порядков

полупериод функции и т. д. Таким образом, допустимые значения параметра ограничены. Произведение должно быть больше первого, не равного нулю корня функции Бесселя но меньше второго. Произведение иога должно быть больше второго корня, но меньше третьего. И так далее. В общем случае, если значение корня уравнения то должно выполняться неравенство

Некоторые значения корней даны в табл. 5.1 и отмечены на рис. 5.3.

В действительности, требование согласованности решений для полей в сердцевине и оболочке при накладывает на верхний предел

Рис. 5.2. Трехмерные картины электрических и магиитиых полей в сечениях-разрезах сердцевины ступенчатого волокна для некоторых мод низких порядков, частоты которых далеки от частоты отсечки: а — (В каждом случае изображена одна полуволна в направлении оси ). [Взято из статьи Е. Snitzer. J. Opt. Soc. of America 51, 491-498 (1961).]

Рис. 5.3. Графики функций Бесселя при малых значениях аргумента. Эти функции описывают зависимость аксиальных электрических и магнитных полей в сердцевине волокна от расстояния до его оси для мод ннзкнх порядков

произведения более строгие ограничения, чем неравенство (5.2.9).

Рассмотрим решения, когда положительное целое число, не равное нулю. Из-за появления члена картина результирующего поля не будет больше иметь радиальной симметрии. Теперь как так и могут принимать ненулевые значения, а соответствующие им моды называются гибридными. Их можно ассоциировать с наклонными (косыми) лучами. Для каждого значения существует два набора (множества) мод. В первом наборе осевая составляющая магнитного поля вносит больший вклад в поперечные поля, чем и потому эти моды называют модами Во втором наборе больший вклад вносит осевая составляющая электрического поля и их называют модами И в этом случае каждая мода порождает пару дискретных значений параметров и и а следовательно, и но конкретное значение Кроме того, точные значения этих величии зависят от частоты и должны определяться из граничных условий при Для нахождения этих значений потребовались сложные численные вычисления, которые были выполнены на ЭВМ. Полученные результаты подробно проанализируем чуть позже в этом параграфе. Важность выполненных расчетов заключается в том факте, что значения которые в соответствии с (5.2.6) определяют постоянную распространения найдены для каждой моды как функция частоты. В свою очередь именно определяет групповую и фазовую скорости распространения мод, а следовательно, и дисперсию волокна. На рис. 5.1 приведены картины поперечного электрического поля в сердцевине волокна для мод типа и Трехмерная картина электрических и магнитных полей, соответствующих модам изображена на рис. 5.2, б - г.

Проанализируем теперь зависимость постоянных распространения от частоты. На очень высоких частотах когда диаметр сердцевины велик по сравнению с длиной волны плоских волн в материале сердцевины, представляется разумным предположить, что

Таблица 5.1. (см. скан) Корни функций Бесселя

вводимый в сердцевину свет в первом приближении будет распространяться в виде плоской ТЕМ-волны, имеющей постоянную распространения При этих условиях уместно вернуться к лучевой модели распространения света в волокне. В таком случае можно ассоциировать моды более высоких порядков с теми лучами, которые более наклонены к оси волокна. Параметр распространения моды при этом будет определять кажущуюся фазовую скорость волны вдоль линии, параллельной оси:

Свяжем такую моду с лучом, представляющим плоскую ТЕМ-волну, перемещающуюся под углом к оси волокна и распространяющуюся в направлении оси путем многократного отражения, как это показано на рис. 5.4. Из рисунка видно, что, хотя фазовая скорость в направлении распространения луча равна

кажущаяся фазовая скорость, с которой волновой фронт пересекает любую линию, параллельную оси волокна, будет определяться из следующего соотношения

откуда

Как было показано предельный угол наклона для лучей, еще распространяющихся в волокне, определялся таким критическим углом что

Таким образом, определяет минимальное значение в соответствии с соотношениями

Это означает, что на любой заданной частоте моды самых низких порядков (соответствующие аксиальным лучам) имеют постоянную распространения, близкую к в то время как мода самого высокого порядка, еще способная распространяться в волокне (и соответствующая самому наклонному лучу), имеет постоянную распространения которая соответствует плоским ТЕМ-волнам в оболочке.

Рисунок 5.4 дает возможность обсудить другое важное свойство решения волнового уравнения на основе лучевой модели. Оно заключается в том факте, что только ограниченное число дискретных мод может распространяться в волокне. На рисунке эти моды представлены в виде плоских ТЕМ-волн и очевидно, что если они не интерферируют деструктивно после многократных отражений, то расстояние должно быть кратно целому числу длин волн

где целое число. Таким образом, разрешенным оказывается только конечное число дискретных углов распространения, удовлетворяющих равенству (5.2.13).

На низких частотах когда диаметр сердцевины становится малым по сравнению с длиной волны плоских воли в материале как сердцевины, так и оболочки, разумно предположить, что сердцевина будет оказывать малое влияние на распространение волны. Волна будет распространяться почти полностью в оболочке при сокращенных граничных условиях, оказывающих минимальное влияние, и следует

Рис. 5.4. (см. скан) Распространение света в многомодовом ступенчатом волокне путем многократного отражения от границы сердцевина-оболочка

ожидать неограниченных ненаправленных плоских ТЕМ-волн, имеющих постоянную распространения . В действительности, существует бесконечно много ненаправленных мод, содержащих, например, и свет, который входит в сердцевину через границу сердцевина — оболочка, проходит через сердцевину и выходит с противоположной стороны волокна.

Интуитивно можно предположить, что постоянная распространения для распространяющихся в волокне мод должна лежать между двумя крайними значениями а на самом деле условие

существования связанных решений для световодных волн выражено в неявном виде в уравнениях (5.2.2) и (5.2.4), если параметры и и принимают вещественные значения. Эти решения удовлетворяют интересующему нас неравенству (5.2.14).

На этой стадии удобно ввести в рассмотрение нормализованный параметр частоты V, определяемый соотношением:

где

Таким образом,

Выражение (5.2.2) можно переписать в таком виде

Из него следует, что на высоких частотах, когда значения приближаются к следующим предельным значениям:

В каждом случае величина при таким образом,

Предполагаем, что на низких частотах, когда Воспользовавшись выражениями (5.2.4) и (5.2.17), видим, что Весьма важно отметить, что для всех светодиодных мод, кроме одной, этот предел значений произведений достигается на некоторой не равной нулю частоте отсечки. На частотах ниже частоты отсечки условие (5.2.14) не

Рис. 5.5. График функций Бесселя низких порядков, по которому можно определить диапазон допустимых значений произведения (иьта) для мод низких порядков. [Взято из статьи D. Gloge. Weakly kuiding fibers. Applied Optics, 10, 2252-2258 (1971).]

На высоких частотах значения (икта) стремятся к правосторонним границам диапазонов. На ннзкнх частотах значения стремятся к левосторонним границам а на частотах отсечки На любой заданной частоте значения для каждой из разрешенных мод устанавливаются равными конкретным значениям внутри предписываемого диапазона, исходя из требования удовлетворения граничных условий. Поля в оболочке затухают до нуля, причем, чем дальше частота поля от частоты отсечки, тем быстрее оно затухает.

может быть выполнено, и значение для каждой моды становится мнимым, а это значит, что моды перестают распространяться. Единственным исключением является мода для которой произведение приближается к V асимптотически при в результате чего эта мода может в принципе распространяться на всех частотах.

Условия отсечки, которые определяют этот нижний предел значений следующие:

Для всех других мод типа общее условие отсечки принимает более сложную форму:

В пределах малой разницы показателей преломления сердцевины и оболочки оно упрощается до вида условие отсечки становится

Допустимые пределы изменения значений икта схематически изображены на рис. 5.5. Из него становится очевидным, что при

нормализованной частоте V менее может распространяться только одна мода Оптические волокна, спроектированные таким образом, чтобы выполнялось это условие, называются одномодовыми или мономодовыми. Вероятно, в будущем эти волокна будут играть весьма важную роль при создании широкополосных оптических систем связи; подробнее они будут рассмотрены в § 5.5. Рассмотрим достаточно подробно характеристики распространения различных мод.

Каким образом характеристики распространения мод зависят от частоты, схематически показано на рис. 5.6. Здесь умышленно выбраны график зависимости от со в противоположность более общепринятой зависимости со от на том основании, что именно постоянная распространения а не угловая частота должна рассматриваться как зависимая переменная. Напоминаем, что фазовая скорость, связанная с любой конкретной модой на данной частоте, равна в то время как групповая скорость будет равна Рисунок 5.6 иллюстрирует зависимость от частоты для любой заданной моды (волноводная дисперсия), а также изменения при переходе от одной моды к другой, способной распространяться в волокне на данной частоте (модовая дисперсия). Эти характеристики в дальнейшем можно модифицировать, чтобы показать дополнительные эффекты материальной дисперсии и таким образом продемонстрировать

Рис. 5.6. Схематическая иллюстрация зависимости постоянной распространения от угловой частоты некоторых мод низких порядков для ступенчатого волокна. Диаграмма построена в предположении отсутствия дисперсии в материале волокна, т. е. ни не изменяются при изменении частоты. Вся область между двумя линиями, соответствующими изображена с сильным преувеличением, чтобы показать поведение мод. На частотах, удовлетворяющих условию может распространяться только одна мода. На более высоких частотах (например, на частоте отмеченной на диаграмме) может распространяться ряд мод, причем каждая из них будет иметь групповую скорость, определяемую обратной величиной наклона модовой характеристики на частоте, равной Имеет место изменение величины для разных мод, что и обусловливает межмодовую дисперсию

Рис. 5.7. Схематическое изображение части диаграммы для ступенчатого волокна, изготовленного из материала, обладающего дисперсией. Диаграмма показывает, каким образом материальная дисперсия разрушает всю картину модовых характеристик распространения

Рис. 5.8. Зависимость нормализованной постоянной распространения от параметра нормализованной частоты V для некоторых мод самого низкого порядка, распространяющихся в ступенчатом волокне

взаимосвязь между тремя причинами дисперсии. Очень схематично мы попытались слелать это на рис. 5.7. Из него видно, что материальная дисперсия исказила всю картину. Недостатки рис. 5.6 до некоторой степени могут быть уменьшены, если постоянную распространения нормализовать к величине На рис. 5.8 даны некоторые расчетные характеристики распространения для мод более низких порядков, представленные в виде зависимости от