6.1.4. Изменение постоянной распространения

В качестве первого шага к определению дисперсионных свойств градиентных волокон можно определить число мод, которые имеют постоянную распространения больше некоторого наперед заданного значения для света с заданной угловой частотой Другими словами, необходимо сделать вычисления по формуле (6.1.24), заменив рсна и изменив максимальный радиус а, при котором распространяются световодные моды, на Обозначим это число мод Тогда получим

Для волокон с -профилем величина определяется из соотношения

Отсюда следует

и

Воспользовавшись этими выражениями, находим

Отметим, что отсюда вытекает следующее соотношение:

Выражение (6.1.35) определяет относительную часть от общего числа распространяющихся мод, которые имеют постоянную распространения больше Нет никакого смысла оставлять индекс для и потому будем писать для обозначения числа мод, имеющих постоянную распространения больше Как было найдено в последнем параграфе для случая ступенчатых волокон, когда рассматривались моды высоких порядков , отстоящие далеко от частоты отсечки, для любой заданной моды допустимое относительное изменение постоянной распространения мало по сравнению с ее изменениями при переходе от одной моды к другой. Следовательно, можно разрешить уравнение (6.1.35) относительно опустив его индекс, и использовать это решение в качестве приближенного выражения для постоянной распространения моды

Для ступенчатых волокон и выражение (6.1.36) преобразуется к виду

Ранее было уже получено выражение для постоянных распространения мод в слабо ступенчатых волокнах, использующее число модовых групп

Выразим теперь постоянную распространения сердцевины как Используя выражения (5.3.20) и (6.1.28), можно записать

Тогда формула (5.3.17) принимает вид

Сравнив формулы (6.1.39) и (6.1.37) и вспомнив ранее установленный факт становится ясно, что для ступенчатого волокна справедливо соотношение Можно показать, что для всех волокон, имеющих -профиль, имеет место приближенное равенство Таким образом, формула (6.1.36) преобразуется к

В таком случае, воспользовавшись формулой (6.1.26), можно получить

Формула (6.1.40) представляет собой приближенное выражение для постоянной распространения мод, имеющих номер модовой группы При эта группа заключает в себе приблизительно мод. Полагаем, что все моды такой группы должны распространяться с одинаковой фазовой скоростью: это было показано в § 5.3 для частного случая ступенчатого волокна а также более строго доказано в случае волокйа с -профилем 1.

Формула (6.1.40) будет использована в § 6.3 при нахождении выражения для дисперсии в многомодовых волокнах с -профилем, а следовательно, для определения значения а, которое будет минимизировать эту дисперсию. Однако из этой формулы сразу видно, каким образом распределяются эти группы мод в зависимости от их постоянных распространения. Рассмотрим сначала случай ступенчатого волокна, когда а

Разность между постоянными распространения двух соседних групп мод будет равна

С увеличением возрастает разделение между модовыми группами, но поскольку каждая группа состоит из мод, распределение среднего числа мод относительно остается постоянным.

Рассмотрим теперь параболическое распределение профиля показателя преломления, когда . В этом случае

а

Таким образом, теперь имеются модовые группы, которые распределены равномерно относительно