6.2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ ВЕНЦЕЛЯ — КРАМЕРСА — БРИЛЛЮЭНА И ЛУЧЕВОЙ МОДЕЛИ

Чтобы получить полезные (применимые) решения волновых уравнений для многомодовых ступенчатых и градиентных волокон, приведенных соответственно в § 5.3 и 6.1, необходимо ограничить рассмотрение тремя случаями. Выше рассматривались только моды высоких порядков на частотах, далеких от частоты отсечки в слабо направляющих волокнах, и обнаружено, что найденные решения являются локальными приближениями к линейно поляризованным плоским поперечным "Электромагнитным волнам. С другой стороны, эти условия именно те, которые необходимы для оптического распространения, описываемого в рамках лучевой модели. Следовательно, можно показать, что эти два по-видимому, очень различных подхода оказываются эквивалентными.

Геометрическое место точек равных фаз в плоской волне ТЕМ образует плоскость, перпендикулярную направлению распространения. Эти плоскости называют волновыми фронтами, а «луч» можно представить в виде траектории, перпендикулярной волновому фронту и передвигающейся в направлении распространения, как это показано на рис. 5.4.

Как уже приводилось ранее, уравнение траектории луча, отображающего волну, распространяющуюся в неоднородной среде с плавно изменяющимся показателем преломления, имеет вид

Здесь обобщенный вектор положения точки на луче; расстояние до этой точки, измеряемое вдоль траектории луча; показатель преломления среды. Отметим, что производная это единичный вектор, касательный к лучу в точке, определяемой значением . В данном параграфе это уравнение будет использовано для определения поведения главного косого луча в градиентном волокне, когда имеет радиальную симметрию. В этом случае для описания вектора положения луча удобно использовать цилиндрическую систему координат с началом на оси волокна.

Рассмотрим луч, изображенный на рис. 6.3, а. Он входит в волокно в точке , а его начальная траектория образует углы с осями координат соответственно.

(кликните для просмотра скана)

В § П.3.1 Приложения 3 показывается, что векторное уравнение (2.1.21) можно представить в виде следующих трех скалярных дифференциальных уравнений:

и

где

а

— постоянные, которые определяют траекторию луча, распространяющегося в волокне. Они, а следовательно, и траектория данного луча зависят только от начальных условий, т. е. от положения и направления луча при его входе в волокно в плоскости

Приложения 3 также показано, каким образом можно проинтегрировать уравнение (6.2.3), чтобы получить

при этом радиусы и определены как корни следующего уравнения

Ряд фактов можно сразу вывести из уравнений (6.2.6) и (6.2.7). Во-первых, величины зависят от профиля показателя преломления и начальных условий ввода луча в волокно, определяемых Во-вторых, производная принимает вещественное значение только внутри области, ограниченной В-третьих, радиусы определяют точки поворота, в которых а траектория луча не имеет никакой радиальной составляющей. В-четвертых, траектории лучей, для которых уравнение (6.2.7) имеет два вещественных корня, заключены в области между траектории лучей, не удовлетворяющие этому условию, не будут располагаться в волокне. Цилиндрические поверхности радиусов ограничивающие траектории лучей, в оптике называются каустиками. В-пятых, можно видеть, что условие прохождения лучей через ось волокна (условие меридиональный лучей) имеет вид

Дальнейшее интегрирование уравнения (6.2.6) показывает, что траектория луча периодически изменяется по на протяжении

вдоль оси волокна. В приложении 3 показано, что величину можно найти по формуле:

На протяжении расстояния азимутальное положение луча всегда изменяется на один и тот же угол определяемый выражением

Таким образом, траектории лучей вдоль волокна имеют вид сложных спиральных линий, как это показано на рис. 6.3, б.

В оптике существует фундаментальный закон, вытекающий из принципа наименьшего времени Ферма, в соответствии с которым в любой среде все лучи, исходящие из точки X и приходящие в другую точку перемещаются от X до У за одно и то же время, независимо от пройденного пути. Применив его к волокну, можно видеть, что если было бы возможно найти такой профиль показателя преломления сердцевины, который обеспечивал бы постоянство равенство их для всех значений то это означало бы, что волокно с таким профилем было бы свободно от межмодовой дисперсии. Известно, что таких профилей не существует. Однако изменение пределах диапазона значений для лучей, распространяющихся в волокне, является мерой дисперсии волокна.

Этим методом была исследована дисперсия волокон с а- профилем, не обладающих материальной дисперсией, и получены результаты, идентичные тем, которые будут представлены в § 6.3 на основе модового анализа. Лучевая модель обеспечивает более простую и физически ясную картину распространения света в оптических волокнах, но она не позволяет определить соотношений, существующих между различными факторами, вызывающими дисперсию, которые будут рассмотрены в § 6.5.