2.1.3. Распространение света и межмодовая дисперсия в градиентных волокнах

Распространение света в градиентном волокне легко рассмотреть, однако строгое рассмотрение приводит к значительным математическим трудностям. Как видно из рис. 2.6, на котбром изображено градиентное волокно, осевые лучи проходят через волокно кратчайшим путем, но они преодолевают участок с наибольшим значением показателя преломления, и следовательно, распространяются с наименьшей скоростью. Наклонные лучи, наоборот, проходят по более длинным траекториям, однако большая часть их пути находится в среде с более низким показателем преломления, в силу чего они распространяются быстрее. Таким образом, можно представить себе, что при надлежащем выборе профиля показателя преломления все лучи, сходящиеся в одну точку, могут быть сфокусированы вновь, образовав периодическую последовательность точек фокуса вдоль волокна. Из принципа Ферма следует, что в таком случае аксиальные скорости лучей будут одинаковыми и, следовательно, временная дисперсия будет равна нулю.

Можно показать (см., например, § 3.2.1 в [2.1]), что траектория луча, распространяющегося в неоднородной среде (с изменяющимся показателем преломления), описывается выражением

где — вектор положения точки на пути луча, a ds - элементарное расстояние, измеряемое вдоль траектории.

Рис. 2.6. Градиентное волокно

Применим (2.1.21) к частному случаю цилиндрического волокна, в котором показатель преломления радиально симметричен. Ограничимся рассмотрением меридиональных лучей, и, кроме того, лишь тех из них, которые всегда остаются почти параллельными оптической оси волокна. Это так называемое параксиальное лучевое приближение, которое позволяет нам аппроксимировать расстоянием вдоль оси Тогда (2.1.21) принимает вид

где теперь расстояние луча от оптической оси, расстояние, измеряемое вдоль оси. Легко показать, что параболический профиль показателя преломления обеспечивает синусоидальный закон изменения от Пусть, например,

где показатель преломления на оси; а — радиус сердцевины волокна, а

— полное относительное изменение показателя преломления сердцевины. Дифференцирование (2.1.23) приводит к выражению

Ограничившись в дальнейшем рассмотрением только лучей, расположенных близко к оси, можно предположить, что Тогда уравнение (2.1.22) принимает вид

Если теперь рассмотреть лучи, которые вводятся в волокно таким образом, что в точке то интегрирование уравнения (2.1.26) даст следующее уравнение траектории луча:

На рис. 2.7 приведены траектории двух групп таких лучей при Все они не имеют дисперсии (не диспергируют).

Если попытаться ослабить условия параксиального приближения, то это приведет к значительному усложнению уравнений. Можно, однако, показать (см. [2.2]), что все меридиональные лучи не испытывают дисперсии, если профиль показателя преломления имеет вид

Приведенное выше разложение профиля показателя преломления в ряд показывает, что параболический закон является первым приближением к требуемому, если принять В случае косых лучей не существует такого закона изменения профиля показателя преломления, который бы устранил их взаимную дисперсию (независимо от места и угла ввода), а также дисперсию по отношению к меридиональным лучам.

Практические аспекты изготовления градиентных волокон будут рассмотрены в гл. 4, а в гл. 6 и приложении 3 вновь вернемся к волне вой и лучевой теориям распространения света в волокне. Покажем, что при идеальном профиле показателя преломления межмодовая дисперсия может быть сделана менее На практике не представляет труда получать хорошие градиентные волокна с величиной межмодовой дисперсии менее Однако при этом может оказаться полезной даже грубое изменение профиля показателя преломления. Например, временная дисперсия волокна со скачком показателя преломления, рассмотренного в виде примера в § 2.1.2, может быть уменьшена с 34 по и менее путем простого сглаживания изменения показателя преломления на границе сердцевины и оболочки.

Прежде чем приступить к анализу дисперсии, необходимо принять во внимание еще один источник временной дисперсии в оптических

Рис. 2.7. Траектории меридиональных лучей в волокне с параболическим профилем показателя преломления: Предполагается, что профиль показателя преломления имеет вид а все изображенные на рисунке траектории лучей заключены в сердцевине. Имеется в виду, что траектории обладают круговой симметрией относительно горизонтальных осей

волокнах. Дело в том, что на самом деле показатель преломления зависит от длины волны. Этот вид дисперсии было бы хорошо назвать хроматической дисперсией, однако ее обычно называют материальной дисперсией.