6. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ГРАДИЕНТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ

6.1. МОДЫ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛОКНАХ

6.1.1. Общие сведения

На основе лучевой модели в § 2.1.3 было показано, что изменением профиля показателя преломления между сердцевиной и оболочкой оптического волокна можно заставить лучи, идущие по совершенно различным траекториям, распространяться вдоль волокна с одинаковой скоростью. Тем самым существенно может быть уменьшена эффективная длительность импульса, в пределах которой должна находиться наибольшая часть мощности, распространяющейся по волокну.

В этом параграфе на более высоком уровне будет рассмотрена теория распространения света в такой неоднородной среде.

В идеальном случае для решения поставленной задачи следовало бы найти решения уравнений Максвелла для градиентного волокна и затем по ним определить дисперсионные свойства волокна. Однако любой общий анализ задачи вскоре становится трудноосуществимым.

В Приложении 1 отмечается, что для получения волнового уравнения использована подстановка

В неоднородной среде, когда величина зависит от координат, это предположение становится несправедливым, так как

Это выражение преобразуется к следующему виду, если учесть, что и подставить

Тогда волновое уравнение запишется следующим образом:

В уравнении для также появляется поправка

Во всех представляющих практический интерес градиентных волокнах величина достаточно мала, что делает эти новые слагаемые приближенно малыми и не оказывающими существенного влияния на характеристики распространения электромагнитных волн в волокне. Будем это иметь в виду в дальнейшем. Таким образом, следует найти решения уравнения

где обозначает или а является медленно изменяющейся функцией радиальной координаты рассматриваемой точки.

Точные решения уравнения (6.1.4) можно получить в виде известных функций, если профиль показателя преломления сердцевины принимает параболический вид

Напомним, что показатель преломления на оси волокна, и при можно записать

Вместо того, чтобы отдельно разобрать этот частный случай, можно рассмотреть обобщенное представление осесимметричного профиля показателя преломления в таком виде:

где .

Для описания так называемого -профиля широко использовалась особая функция

Здесь параметр профиля а может принимать значения от единицы до бесконечности. Параболический закон изменения профиля показателя преломления вида (6.1.5) получается подстановкой случай можно рассматривать как предельный соответствующий ступенчатому профилю. Однако необходимо отдавать себе отчет в том, что подстановка в уравнения (6.1.7) и (6.1.8) приводит к определению А с помощью выражения (6.1.6), которое несколько отличается от определения, данного в гл. 5. Сравнение выражения (6.1.6) с (5.4.2) сделает это более понятным. В предположении малости А это различие становится пренебрежимо малым. Ряд примеров -профилей изображен на рис. 6.1.