6.1.2. Приближенное решение

В приложении 1 отмечается, что решение волнового уравнения вида или (6.1.4) требует, чтобы радиальные распределения электрических и магнитных полей удовлетворяли условию а именно

В этом уравнении постоянная распространения, которая характеризует периодичность полей в направлении оси волокна с помощью экспоненты целое число, которое учитывает периодичность полей в азимутальном направлении посредством члена

На первом этапе решения уравнения (6.1.9) исключим слагаемое Этого можно достичь путем подстановки

В этом случае уравнение (6.1.9) принимает вид

Обозначим выражение в квадратных скобках через т. е.

Анализ уравнения (6.1.12) показывает, что на определенных угловых частотах (о для света, распространяющегося в виде моды, имеющей данную постоянную распространения будут существовать некоторые области в волокне, где К — действительная величина, и другие области, где К — мнимая величина. Из рис. 6.2 следует, что принимает действительные значения внутри области ограниченной для которой справедливо неравенство

В Приложении 2 показано, что внутри этой области (распределения полей) поля изменяются периодически в зависимости от радиуса, в то время как вне этих границ они уменьшаются экспоненциально. По аналогии с рассмотрением, приведенным в § 5.2, свяжем эти периодические распределения полей, ограниченные цилиндрической областью между радиусами со световодными модами и уменьшающимися затухающими полями вне этих радиусов.

При не существует никакой границы ниже и периодический характер полей световодных мод расширяется вплоть до оси волокна. Как и ранее, можно полагать, что такие моды соответствуют меридиональным лучам. В этом случае поля обладают радиальной симметрией.

Необходимо чтобы периодический характер распределений полей между был согласован с затухающими полями вне этих границ, а это означает, что только определенные дискретные значения постоянной распространения будут удовлетворять граничным условиям и, следовательно, обуславливать возможные моды распространения. Обозначим, как и прежде,

Рис. 6.1. -профилн показателей преломления градиентных волокон: Профили показателей преломления даны при (ступенчатый профиль)

Рис. 6.2. Область, ограниченная радиусами внутри которой существуют решения для световодных волн: а — графики зависимости величии от на которых отмечена область, ограниченная в пределах которой принимает действительные значения; графическое представление осциллирующих решений для световодных полей в промежутке между и затухающих полей вне его

эти допустимые значения через Здесь целое число это номер азимутальной моды, а целое число характеризует число полупериодов величины между . В Приложении 2 показано, что

Следовательно, каждый полупериод функции соответствует условию а значение приближенно определяется из следующего уравнения;

Решение уравнения (6.1.14) относительно в областях допустимых значений целых чисел приводит к постоянным мод распространения, зависящим от частоты Времена распространения мод

могут быть найдены путем дифференцирования уравнения (6.1.14) по и. Таким образом, получаем

Дифференцирование уравнения (6.1.12) дает

Сделав затем подстановку

находим

Следовательно,

и

Введя обозначение

можно записать

а при условии, что не зависит от

где

представляет собой дисперсионный параметр волокна, который аналогичен введенному в выражении (5.4.9), но не совсем тот же самый.

В таком случае формула (6.1.18) принимает вид

В принципе формула (6.1.21) позволяет вычислить значения времен распространения мод по известным значениям Очевидно, что это было бы нелегкой работой. Поэтому попытаемся найти более простые и более точные выражения для и а также -профилей, используя другие аргументы.