6.5. ОБЩАЯ ДИСПЕРСИЯ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛОКНАХ

Подчеркнем еще раз, что лежащее в основе анализа дисперсии в градиентных волокнах соотношение (6.1.40) справедливо только для тех мод высоких порядков, распространяющихся в многомодовых волокнах, которые далеки от частоты отсечки. Предположим, что большая часть передаваемой по волокну оптической мощности переносится именно такими модами. В этом параграфе найдем среднеквадратическое отклонение времени распространения, усредненное по всем этим модам. При этом будем предполагать, что свет вводится в волокно от источника, спектральная ширина излучения которого на уровне половинной мощности равна (или среднеквадратическая ширина равна и распределяется равномерно между всеми модами распространения.

Для определения общей дисперсии необходимо объединить определенным образом эффекты, обусловливающие межмодовую и внутримодовую дисперсии. Из предыдущих параграфов очевидно, что эти эффекты независимы и некоррелированы. По этой причине самым удобным способом их объединения оказывается сложение среднеквадратических длительностей импульсов, независимо создаваемых каждым из эффектов дисперсии в отсутствие другого. Как было показано в § 2.4, в таком случае общая среднещадратическая длительность импульса а, обусловленная влиянием обоих видов дисперсий, определяется соотношением

где среднеквадратическая длительность импульса, являющаяся результатом одной межмодовой дисперсии, а а2 - среднеквадратическая длительность импульса, обусловленная влиянием только внутримодовой дисперсии.

В предыдущем параграфе было показано, что межмодовая дисперсия определяется слагаемым, характеризующим материальную дисперсию и одинаковым для всех мод, а также рядом других слагаемых, определяющих волноводную дисперсию, и изменяющихся от моды к моде. Перечисленные слагаемые, как и выражение (6.4.6), содержат параметр ?. Не зависящее от мод слагаемое доминирует над всеми другими за исключением, может быть, случая близости к минимуму материальной дисперсии, поэтому для упрощения выкладок оставим только его. В выражении (6.4.6) внутримодовая дисперсия была представлена в виде длительности импульса на полувысоте создаваемого каждой модовой группой зависящей от ширины спектральной линии излучения определяемой по тому же критерию (ширина на полувысоте). Для решения задачи данного параграфа удобнее использовать среднеквадратическую длительность импульса которую можно непосредственно выразить через среднеквадратическую ширину спектральной линии излучения ом- Таким образом, если ограничиться только одним первым слагаемым, выражение (6.4.6) упрощается по (2.4.12).

Теперь необходимо определить — среднеквадратическую длительность импульса, являющегося результатом межмодовой дисперсии, когда величина очень мала. Для этого необходимо использовать результаты § 6.3, где исследовался общий разброс по времени распространения различных мод. Чтобы найти нужно оценить соотношение (2.4.3) в предположении, что введенная в волокно в виде импульса единичной энергии оптическая мощность распределена равномерно между распространяющимися в нем модами. В таком случае принимаемая мощность будет поступать в виде последовательности взвешенных импульсов по мере того, как модовые группы будут прибывать после соответствующего времени распространения. Каждая из модовых групп опознается по параметру модовой группы и состоит из независимых мод. Таким образом, энергия, поступающая во время с модовой группой пропорциональна индексу Общее число отдельных мод будет равно

Поскольку мы используем результаты анализа, полученные в приближении Венцеля — Крамерса — Бриллюэна, необходимо предположить, что велико и результаты могут быть неточными для мод самых низких и самых высоких порядков, т. е. когда мало и когда оно приближается к При равномерном распределении энергии единичного импульса между модами энергия каждой из мод будет равна а энергия каждой модовой группы составит

Исследуем распределение времени распространения для модовой группы при некоторых типичных значениях параметра а, характеризующего закон изменения показателя преломления. На этой основе можно получить импульсную характеристику волокна, а следовательно, и найти значение Наш анализ будет основываться на выражении

Более удобно представить эти времена распространения в нормализованном виде относительно времени распространения моды самого низкого порядка Момент времени можно также использовать в качестве начала координат при отсчете времени прихода других мод. Таким образом, нормализованное время распространения будет определяться следующим образом:

или

где

Итак, временной интервал между импульсами определяется значением производной и поэтому скорость поступления модовых групп будет равна Средняя мощность, принимаемая в любой момент времени будет равна

поскольку каждая модовая группа переносит энергию Полученное выражение представляет собой сглаженную импульсную характеристику волокна. Оно описывает отклик на выходе волокна, когда приемник действует как фильтр низких частот, неспособный различить отдельные импульсы, появляющиеся в момент прихода отдельных модовых групп.

Общее выражение для можно получить, подставив (6.5.6) и (6.5.3) в (2.4.3)

что приводит

Если теперь подставить значение определяемое (6.5.3), то после ряда простых преобразований

Вместо того, чтобы слепо подставить в полученное выражеь не значения а, исследуем сначала импульсные характеристики волокна, получаемые в некоторых специфических случаях, а затем на их основе найдем значения

Рассмотрим сначала ступенчатое волокно, у которого . В этом случае только первое слагаемое в (6.5.3) будет существенным и можно написать

Следовательно, мощность принимается в течение промежутка времени Это нормализованное время, которому соответствует интервал реального времени, равный . В течение этого временного отрезка средняя принимаемая мощность постоянна. Воспользовавшись формулой (6.5.6), находим, что

На рис. 6.7, а показаны распределение и сглаженная импульсная характеристика ступенчатого волокна при . В § 2.4 было показано, что среднеквадратическая длительность импульса прямоугольной формы составляет часть от его длительности [см. формулу (2.4.13)]. Следовательно, среднеквадратическая длительность

(кликните для просмотра скана)

нормализованной импульсной характеристики ступенчатого волокна будет равна

Подставновка в первое слагаемое выражения (6.5.9) приводит к тому же результату.

Рассмотрим другой частный случай, на этот раз волокно со слабым изменением показателя преломления, имеющее . В этом случае, снова учитывая только первое слагаемое в (6.5.3) и пренебрегая 6 по сравнению с единицей, получаем

Общее расширение импульсной характеристики волокна при этом равно а распределение мощности примет вид

Модальная и сглаженная импульсные характеристики такого волокна изображены на рис. 6.7, б. Среднеквадратическая длительность в соответствии с первым слагаемым (6.5.9) импульсной характеристики равна

что в 2 с лишним раза меньше, чем в ступенчатом волокне.

В качестве следующего примера рассмотрим волокно с параболическим профилем показателя преломления у которого дисперсионный коэффициент таком случае

где

Тогда

а

Таким образом, принимаемая мощность остается постоянной в течение длительности импульса Следовательно, среднеквадратическая длительность импульсной характеристики будет равна

Эта характеристика приведена на рис. 6.7, в. При достигается весьма существенное уменьшение среднеквадратической длительности

импульсной характеристики. При получается результат, аналогичный предписываемому формулой (6.5.19), если выбрать Это легко показать, сделав подстановку в формулу (6.5.9).

Наконец, рассмотрим волокно с таким значением а, которое, как показано в § 5.4, минимизирует длительность импульсной характеристики по а именно, когда . Снова предполагаем что и Тогда

Таким образом, обращаются в нуль, Следовательно,

а распределение мощности

Теперь необходимо решить уравнение (6.5.20) относительно и подставить найденное значение в формулу (6.5.22). Введем обозначение с тем, чтобы формула (6.5.22) приняла вид

Тогда, используя уравнение (6.5.20), можно написать

откуда

Таким образом, для каждого у, а следовательно, и каждого имеется два решения. Общая мощность определяется арифметической суммой этих двух решений. Чтобы упростить запись полученного результата, введем обозначения

Тогда суммирование двух решений дает

Отсюда

Модальная и сглаженная импульсные характеристики рассмотренного волокна приведены на рис. 6.7, г. Вычисления по формуле (2.4.3) с использованием (6.5.26) дают

Прямая подстановка в (6.5.9) значения в предположении, что приводит к такому же результату.

Необходимо отметить, что для минимизации общего расширения импульса значение а выбирают из условия а — аопт Однако при этом не получается наименьшее теоретическое значение для Можно показать, что в соответствии с формулой (6.5.9) минимальные значения для достигаются при выборе значения а близким к Тогда будет равно

Такие различия, скорее, представляют теоретический интерес и не имеют практического значения. Для изготовителя оптического волокна важно знать, насколько увеличится модовая дисперсия при заданном допустимом отклонении значения а от оптимального. Об этом можно получить некоторое представление на основании вышеизложенного. Были опубликованы и более сложные теории, на основе которых определены влияния на параметры распространения мод статистических отклонений значений а от оптимального и искажений профиля показателя преломления, подобных изображенным на рис. 4.7. Можно только повторить еще раз, что для достижения уровня модовой дисперсии, близкого к теоретическому минимуму, необходимо поддерживать значение а с точностью порядка величины А, т. е. с погрешностью Однако даже грубое изменение профиля показателя преломления приводит к значительному уменьшению длительности импульса.

Приступим теперь к определению общего. эффекта, когда модовая и материальная дисперсии присутствуют одновременно. На рис. 6.8 изображена зависимость общей дисперсии от а при наличии изменяющейся по величине материальной дисперсии. Общая дисперсия получается подстановкой выражений (6.5.9) и (6.5.1) в формулу (2.4.10). Для значений а, не очень близких к двум она принимает вид

Если значения лежат в окрестности 2, для определения необходимо использовать формулу (6.5.9). В рассматриваемых оптических волокнах с хорошо выполненным профилем показателя преломления материальная дисперсия может легко преобладать над модовой дисперсией, если только не используются длинноволновые источники

Рис. 6.8. Зависимости теоретического расширения импульса от параметра профиля показателя преломления а и ширины спектральной линии излучения источника Расчеты выполнены для волокна, имеющего сердцевину из кварца, легированного германием, и кварцевую оболочку, возбуждаемого излучением с длиной волны 0,85 мкм. Было принято для характеристик волокна и 70 равной 0,02, 0.002 и 0,0002 для оценки излучения светодиода, многомодового лазера и одномодового лазера соответствеиио. Для сравнения приведена также кривая для волокна без дисперсии, имеющего

излучения или источники с узкой спектральной линией излучения. Сказанное хорошо иллюстрирует рисунок, на котором показано небольшое смещение оптимального значения а, вызванное дифференциальным параметром дисперсии