15.3.2. Вероятность ошибок для случая, когда усиленный дробовой шум соизмерим с шумом от других источников

Из приведенного в гл. 14 анализа шумов ясно, что при использовании в качестве фотодетектора -фотодиода дробовой шум обычно пренебрежимо мал, что предполагалось в предыдущем параграфе. Однако при использовании хороших лавинных фотодиодов, обеспечивающих коэффициент усиления 20 или более, обычно достаточно

гарантировать, что относительное влияние шума от других источников уменьшено до уровня, сравнимого или меньше уровня усиленного дробового шума. Эта ситуация исключительно сложна, чтобы ее анализировать на том же уровне строгости, который был возможен до сих пор. Причина состоит в необходимости использования различных функций распределения для дробового шума и шумов других источников, а также в том, что теперь уровень шума может зависеть от величины сигнала.

Было принято, что источники теплового шума и шума усилителя имеют гауссовские распределения амплитуд. Это позволяет выразить общий эффект от ряда независимых и некоррелированных источников шума в виде суммы средних квадратов амплитуд каждого из них. Влияние дробового шума было учтено аналогичным образом. Как было показано в § 15.2. дробовый шум подчиняется пуассоновской статистике. Амплитудное распределение умноженного дробового шума на выходе лавинного фотодиода будет зависеть, кроме того, от статистик процессов генерации носителей заряда при лавинном умножении, которые не достаточно исследованы теоретически. Как указывалось в гл. 14, оправданием такого сложения различных источников шума служит тот факт, что при достаточно большом числе случайных величин, что имеет место в нашем случае, все распределения приближаются к гауссовскому относительно своего среднего значения. Следовательно, полученное таким образом суммарное среднеквадратическое значение шума представляет собой приемлемое приближение. Однако при определении вероятностей ошибок имеем дело с «хвостами» функций распределения и важно помнить, что простое предположение об аппроксимации распределений всех шумов гауссовой функцией может привести к значительным ошибкам. Тем не менее и далее будем использовать эту аппроксимацию.

В случае, когда дробовый шум и шум усилителя значительны по величине, решение для минимального среднего тока можно получить из уравнений (14.4.32) — (14.4.34). Оно имеет вид

где

и

Здесь представлялось вместо и предполагалось, что R достаточно велико по сравнению со слагаемыми шума а чтобы можно было пренебречь. Отметим, что

Как функция скорости передачи данных, решение для представленное в виде (15.3.10), распадается на две либо на три части. Этот вопрос уже поднимался в § 14.4.3. При

величина принимает минимальное значение:

При в правых частях выражений (15.3.12) и (15.3.13) преобладает слагаемое шумового напряжения; если доминирующим становится слагаемое шумового тока. Если то при всех скоростях передачи данных дробовой шум пренебрежимо мал и При

при этом предполагается, что распределения шума - гауссовы и . При

Даже когда слагаемое шумового тока все же доминирует, если скорость передачи данных достаточно мала, чтобы обеспечить а слагаемое шумового напряжения доминирует при больших скоростях передач и данных, достаточных для удовлетворения того же самого условия. Таким образом, когда

значение еще раз определяется (15.3.16), а если

значение снова находят по (15.3.17). Теперь может существовать и средняя область значений скоростей передачи данных, а именно, при Тогда

В этом случае преобладающим становится умноженный дробовой шум, который может иметь не гауссово и даже несимметричное распределение. Следовательно, может стать нецелесообразным использовать значение для поддержания вероятности ошибок ниже уровня Может также стать неуместной установка уровня порога посередине между уровнями сигналов, соответствующих 0 и 1.

Очевидно, что формулы (15.3.16) и (15.3.17) являются асимптотами выражения (15.3.9), графики которого приведены на рис. 15.9 для соответственно при низких и высоких значениях скорости передачи данных. Увеличение коэффициента умножения больше 1 заставляет эти кривые смещаться вниз пропорционально значению

Выражение (15.3.20)

Рис. 15.10. (см. скан) Зависимость минимального среднего тока фотодетектора от скорости передачи данных: а — усилитель на биполярном транзисторе, усилитель на полевом транзисторе, в — усилитель на биполярном и полевом транзисторах, Предел усиления для полевого транзистора на низких частотах и предел усиления для биполярного транзистора на высоких частотах лежат за границами диапазонов, указанных на графике

характеризует уменьшение предельной чувствительности, ограниченной квантовым пределом, которая была определена в § 15.2 коэффициентом Если исходить из числа пар носителей заряда, генерируемых при приеме одного бита, эта чувствительность станет равной или носителей заряда/бит. На рис. 15.10 приведены графики этих трех приближенных решений уравнения (15.3.10) для некоторых частных примеров, где учтены шумовые параметры входных каскадов усилителя на кремниевых полевом и биполярном транзисторах с входной емкостью Таким образом, имеем: для полевого транзистора — Гц и для биполярного Значения коэффициента усиления и коэффициента шума лавинного фотодиода следующее причем более высокий коэффициент, усиления можно ожидать от малошумящих кремниевых ЛФД. Из рисунка видно, что в обоих случаях усилитель на полевом транзисторе оказывается ограниченным дробовым шумом повсюду в наиболее полезной области частот, в то время как усилитель на биполярном транзисторе едва достигает предела дробового шума при невысоких коэффициентах усиления ЛФД. Важно иметь в виду, что все приведенные вычисления предполагали однородную спектральную плотность шума усилителя на всех частотах. Имеются все основания полагать, что на практике величины будут увеличиваться на высоких и низких частотах. Это приведет к уменьшению области частот, в пределах которой можно поддерживать режим детектирования, ограниченный дробовым шумом.