ПРИЛОЖЕНИЕ 1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

П1.1. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Уравнение Максвелла для однородной изотропной непроводящей среды, не содержащей зарядов, имеет вид

где

В таком случае

Однако

и

Откуда следует

Подобным же образом можно получить

Введем в рассмотрение величину для обозначения либо либо и найдем решения волнового уравнения в цилиндрической системе координат при условии, что направление распространения волиы совпадает с осью являющейся осью симметрии граничных условий. Таким образом,

Нетрудно видеть, что уравнения имеют вид волнового уравнения, которое в отсутствие граничных условий имеет решение в виде плоских волн. При этом фазовая скорость этих волн

В вакууме следовательно,

В изотропной среде показатель преломления определяется из соотношения откуда т. е. уравнение можно переписать в виде:

П1.2. РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

Поскольку граничные условия для оптического волокна имеют осевую симметрию и нас интересуют электромагнитные волиы, распространяющиеся в направлении его оси, будем искать решения волнового уравнения в виде:

Если граничные условия действительно обладают осевой симметрией, переменные будут разделены:

где k — целое число. Следовательно,

При использованнн цилиндрических координат уравнение преобразуется к виду

Подстановка дает

Уравнение определяет радиальные картины полей, которые удовлетворяют волновому уравнению и может быть переписано следующим образом для сердцевины:

где

а для оболочки оно примет вид

где

Уравнения (П1.8) и (П 1.10) представляют собой уравнения Бесселя и их решения включают в еебя функции Бесселя и модифицированные функции Ганкеля аргументов соответствеиио. Эти функции рассмотрены в § 5.2. Чтобы решения были корректными, т. е. принимали конечное значение при и стремились к нулю при необходимо, чтобы на, и» были действительными величинами.